Series de fourier

Series de Fourier y fen´meno de Gibbs o
Roberto Rodr´ ıguez-del-R´ & Enrique Zuazua ıo Departamento de Matem´tica Aplicada a Universidad Complutense de Madrid 28040 Madrid, Espa˜a n e-mail: rr delrio@mat.ucm.es; zuazua@eucmax.sim.ucm.es
Resumen En este trabajo describimos la g´nesis de las series de Fourier a e trav´s de los trabajos pioneros de finales del siglo XVIII y principios e del XIX enla resoluci´n de dos de las Ecuaciones en Derivadas Paro ciales (EDP) m´s importantes: la ecuaci´n de ondas y la del calor. a o Las series de Fourier han generado un gran n´mero de trabajos de u investigaci´n y han dado nombre a una de las ´reas m´s importantes o a a del An´lisis Matem´tico, el An´lisis de Fourier o An´lisis Arm´nico. a a a a o Son muchas las cuestiones matem´ticas b´sicas yatractivas que las a a series de Fourier plantean. Entre ellas cabe destacar el fen´meno de o Gibbs, a cuyo an´lisis dedicamos parte de este trabajo. Por ultimo, coa ´ mo apoyo a la lectura del art´ ıculo, se describen varios programas para el asistente matem´tico Matlab que permiten estudiar gr´ficamente a a estas cuestiones.

1.

Introducci´n o

En cualquier curso introductorio de Ecuaciones enDerivadas Parciales (EDP) siempre podemos encontrar dos importantes ejemplos: la ecuaci´n de o ondas que, en su versi´n m´s elemental, describe las vibraciones de una cuero a da fija en dos extremos y; la ecuaci´n del calor que describe c´mo fluct´a el o o u calor a lo largo del tiempo a trav´s de un s´lido. Sin embargo, no siempre se e o pone de manifiesto la importancia e influencia reales que estosdos problemas

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han tenido en el desarrollo posterior de t´cnicas y teor´ que han enriquee ıas, cido, y lo siguen haciendo hoy en d´ a la Matem´tica y sus aplicaciones. ıa, a Entre estas, cabe citar el desarrollo de las series trigonom´tricas y el An´lisis e a de Fourier, que iremos estudiando, en parte, a lo largo del art´ ıculo. El trabajo est´ estructurado de la forma siguiente: a En lasecci´n 2, se ha hecho un peque˜o recorrido hist´rico de la g´nesis o n o e del An´lisis de Fourier, a partir de los primeros estudios relacionados con los a intentos de resolver el problema de la cuerda vibrante hasta llegar al fen´meno o de Gibbs. En la secci´n 3, se analizan los dos problemas cl´sicos de Ecuaciones en o a Derivadas Parciales que dieron lugar al An´lisis de Fourier : laecuaci´n de a o ondas y la del calor. En la secci´n 4, se estudian algunos aspectos cl´sicos del fen´meno de o a o Gibbs. ´ o o Por ultimo, en la secci´n 5, se incluyen los c´digos de algunos programas realizados en Matlab para la elaboraci´n de las gr´ficas que aparecen en el o a ıculo, con una intenci´n claramente did´ctica. o a art´ Respecto de la bibliograf´ aunque no se ha pretendido que seaexhaustiıa, va, s´ que se ha incluido una importante cantidad de las referencias hist´ricas ı o originales, de manera que el lector interesado, pueda recorrer por s´ mismo ı los pasos seguidos por los protagonistas del desarrollo de las cuestiones matem´ticas mencionadas aqu´ a ı.

2.
2.1.

Notas hist´ricas o
Los precursores
∞ a0 + [ak cos(kx) + bk sin(kx)] 2 k=1

Una serie trigonom´trica es unaexpresi´n de la forma e o (2.1)

donde ak y bk con k = 0, 1, 2, . . . son constantes. Si tal serie converge para todo x tal que −∞ < x < +∞, en alg´n sentido que precisaremos m´s adelante, u a entonces representar´ una funci´n peri´dica de per´ a o o ıodo 2π y bastar´ por a tanto estudiar su restricci´n al intervalo [−π, π] o La cuesti´n de si una funci´n arbitraria f (x) (con x ∈ [−π, π]), puedeo o expresarse como una expansi´n del tipo (2.1) aparece a mediados del siglo o 2

XVIII asociada a los estudios de L. Euler (1701-1783) y de D. Bernouilli (1700-1782) sobre el problema de la cuerda vibrante, comentado en el apartado 3.1. Bernouilli llega al punto de plantearse la soluci´n del problema de la o cuerda vibrante en forma de serie trigonom´trica a partir de consideraciones e de...