Series de numeros reales

Series de números reales
Aquiles alcanzó a la tortuga y se sentó confortablemente sobre su espalda.
“¿De modo que has llegado al final de nuestra carrera?– dijo la tortuga –.
¿A pesar de que realmente consiste en una serie infinita de distancias? Yo
creía que algún necio había demostrado que esto no podía hacerse”.
Lewis Carroll

Introducción
En este capítulo continuamos con el estudio delas sucesiones empezado en el Capítulo
4. La novedad es que ahora vamos a considerar un tipo particular de sucesiones que, sin
exagerar, puede afirmarse que son las más útiles del Cálculo. Estas sucesiones se llaman
series. Lo más llamativo en el estudio de las series es el punto de vista que se adopta en el
mismo; a saber: se trata de estudiar una sucesión a partir del conocimiento que se tienede
otra sucesión. Precisemos estas ideas.
Dada una sucesión, {an }, podemos formar a partir de ella otra sucesión, {An }, cuyos
términos se obtienen sumando consecutivamente los términos de {an }, es decir:
A1 = a1 , A2 = a1 + a2 , A3 = a1 + a2 + a3 , . . . , An = a1 + a2 + · · · + an
Pues bien, la sucesión así obtenida se llama serie de término general an .
Al estudiar las sucesiones vimosalgunos ejemplos importantes de series como la serie
geométrica {1 + x + x 2 + · · · + xn }, y la serie armónica {1 + 1/2 + 1/3 + · · · + 1/n}.
La característica que distingue el estudio de las series es la siguiente: se trata de deducir propiedades de la serie {An } = {a1 + a2 + · · · + an}, a partir del comportamiento de
{an }; es decir: los resultados de la teoría de series dan informaciónsobre la sucesión {An }
haciendo hipótesis sobre la sucesión {an }. ¿Por qué esto es así?, ¿no sería más lógico, puesto que lo que queremos es estudiar la serie {An }, hacer hipótesis directamente sobre ella?
La razón de esta forma de proceder es que, por lo general, no se conoce una expresión de
An = a1 + a2 + · · · + an que permita hacer su estudio de forma directa; es decir, la sumaDepartamento de Análisis Matemático

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Prof. Javier Pérez

Series de números reales

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a1 + a2 + · · · + an no es posible “realizarla” en la práctica. Por ello, en el estudio de las
series se supone implícitamente que la sucesión {an } es el dato que podemos utilizar. Naturalmente, esto hace que el estudio de las series se preste a muchas confusiones porque,
aunque su objetivo es obtenerpropiedades de la serie {An }, las hipótesis hacen siempre referencia a la sucesión {an }. Si bien lo pensamos, esta forma de proceder no es del todo nueva.
Ya estás acostumbrado a usar la derivada de una función para estudiar propiedades de la
función; pues bien, la situación aquí es parecida: para estudiar la serie {a1 + a2 + · · · + an}
(la función) estudiamos la sucesión {an } (la derivada).Conceptos y resultados básicos
Todas las sucesiones que vamos a considerar en lo que sigue son sucesiones de números
reales por lo que evitaremos esa innecesaria precisión.
Definición
Dada una sucesión {an }, la sucesión {An } definida por:
A1 = a1 , An+1 = an+1 + An

para todo n ∈ N

se llama serie de término general an .
Debe quedar claro desde ahora que una serie es una sucesión cuyostérminos se obtienen
sumando consecutivamente los términos de otra sucesión.
Convenio de notación
Usaremos la notación {a1 + a2 + · · · + an} para representar la serie de término general an .
Ni que decir tiene que, siendo las series sucesiones, todos los conceptos y resultados
estudiados ya para sucesiones conservan su misma significación cuando se aplican a series.
Por tanto, esinnecesario volver a definir qué se entiende cuando se dice que una serie es
“convergente”, o “divergente positivamente”, o “acotada”.
Serie armónica
Se llama así la serie de término general 1/n; es decir, la serie {1 + 1/2 + · · · + 1/n}. Se verifica que la serie armónica diverge positivamente; de hecho, dicha serie es asintóticamente
equivalente a la sucesión {log n}.

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