series de pontecia




SERIES DE POTENCIAS


INTRODUCCIÓN.


Las ecuaciones diferenciales lineales se resuelven por distintos métodos, ya sean exactas, ordinarias, parciales, etc., razón por la cual, eneste trabajo, se buscaran las soluciones lineales independientes por los métodos denominados series de potencias; de los cuales se puede hablar de sus distintas formas operacionales y de como seresuelven por esa forma.

SERIES DE POTENCIAS

Una serie del tipo:



Ordenada por potencias enteras crecientes de la variable X y con coeficientes constantes, independientes de X.
Amenudo consideramos las series de potencia de forma:



Donde a es otra constante. De hecho, por el Mathboch de “Aplicaciones de las derivadas” sabemos que este tipo de seriesreciben el nombre de series de MacLaurin y de Taylor, respectivamente. Una serie de Taylor puede ser reducida a una de MacLaurin mediante el siguiente cambio de variable:

En lo que concierne a laconvergencia de series, trataremos sólo las series de MacLaurin puesto que las de Taylor se reducen a las primeras mediante un simple cambio de variable.


OPERACIONES CON SERIES DE POTENCIASEn el metodo de potencia se derivan, suman y multiplican series de potencia, estas operaciones se permiten. Asi mismo una condicion relacionada con la cancelacion de todos los coeficientes deuna serie, con la cual se constituye una herramienta basica del metodo de potencias.

Derivacion termino a termino
Una serie de potencias puede derivarse termino a termino de modo mas preciso:Converge para , donde , entonces la serie obtenida tambien converge para esas y representan la derivada de para .


Adicion termino a terminoDos series de potencia pueden sumarse termino a termino. De modo que si las series:



Tienen radios de convergencia positivos y sus respectivas sumas son las de f(x) y g(x), entonces:...