series de potencias

Series de potencias: una serie cuyos términos son monomios de potencias enteras, positivas y ascendentes de una variable, digamos x de la forma
(1)En donde los coeficientes son independientes de x, se llama una serie de potencia en x. Tales series son de la mayor importancia en el análisis matemático.
Una serie de potencias de x puede convergerpara todos los valores de x, o para ningún valor con excepción de x = 0, o puede converger para algunos valores x distintos de cero y ser divergente para otros valores.
Vamos a examinar la serie (1)solo para el caso de ser los coeficientes tales que

Siendo L un número determinado. Para ver el motivo de esto apliquemos el criterio de D´Alembert a la serie (1), omitiendo el primer termino.Entonces tenemos

Luego, para cualquier valor fijo de x,

Tenemos dos casos:
I. Si L = 0, la serie (1) será convergente para todos los valores de x, puesto que ϱ = 0.
II. Si L no es cero, laserie será convergente cuando xL (= ϱ) es numéricamente menor que 1, es decir, para valores de x en el intervalo

Que se llama intervalo de convergencia o campo de convergencia, y será divergente paravalores de x fuera de este intervalo.
Los extremos de intervalo deben examinarse separadamente. Para toda serie dada debe formarse la razón de D´Alembert y determinarse el intervalo de convergencia.Ejemplo 1. Hallar el intervalo de convergencia de la serie
(2)
Solución. Aquí la razón de D´Alembert es . Según el artículo 18,
Luegoϱ = -x, y la serie converge cuando x es numéricamente menor que 1, y diverge cuando x es numéricamente mayor que 1.
Ahora examinemos los extremos del intervalo. Sustituyendo en (2) x = 1, obtenemosQue es una serie alternada convergente. Sustituyendo en (2) x = -1, obtenemos

Que es convergente por comparación de la serie p ( p > 1 ).
La serie del ejemplo dado tiene [-1, 1] como...