Series de potencias

Tema 5.- SOLUCIONES EN SERIES DE POTENCIAS DE E.D.O. LINEALES
Ampliación de Matemáticas. Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial.

Índice General
1 Introducción 2 Series numéricas 2.1 Series de términos no negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Series alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 2.3 Series absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Series de potencias. Radio e intervalo de convergencia 3.1 Desarrollos en series de potencias. Series de Taylor y Mac-Laurin. Series binómicas . . . . 4 Soluciones en series de potencias de E.D.O. lineales 4.1 Soluciones en serie en torno a puntos ordinarios . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Soluciones en torno a puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 3 4 4 4 7 9 11 14

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Introducción

Hasta ahora hemos resuelto, principalmente, ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden o de orden superior, cuando las ecuaciones tenían coeficientes constantes. Sin embargo, en las aplicaciones, se puede observar quelas ecuaciones lineales con coeficientes variables tienen la misma importancia, si no más, que las de coeficientes constantes, y que ecuaciones sencillas de segundo orden, como por ejemplo y 00 + xy = 0, no tienen soluciones expresables en términos de funciones elementales. Por esta razón vamos a dedicar este tema a la búsqueda de soluciones linealmente independientes que vienen representadas porlo que se denominan series de potencias. Así, en la primera parte del tema introduciremos algunas nociones y propiedades de las series de potencias para posteriormente, observar una de sus aplicaciones importantes como es la obtención de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. Previamente, antes de definir y estudiar las propiedades elementales de las series de potencias, daremos algunosconceptos y resultados básicos relativos a las series numéricas que nos serán necesarios para abordar el estudio de las series de potencias.

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Series numéricas

Se llama serie de números reales a todo par ordenado ({an }, {Sn }) en el que {an } es una sucesión de números reales arbitraria y {Sn } es la sucesión definida por: S1 = a1 Sn+1 = Sn + an+1 = a1 + · · · + an+1 para todo n ∈ N.término general {an }.

A {an } se le llama término general de la serie mientras que a la sucesión {Sn } se llamará sucesión de ∞ P P sumas parciales de la serie. En adelante denotaremos por an (o más brevemente an ) a la serie de
n=1

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Tema 5. Soluciones en serie de potencias de EDOs. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 2

P an es convergente cuando su sucesión desumas parciales es Se dice que la serie de números reales convergente (esto es, cuando su sucesión de sumas parciales tiene límite finito), en cuyo caso el límite de la sucesión de sumas parciales recibe el nombre de suma de la serie y se le representa por
∞ X

n=1

an = lim Sn = lim (a1 + · · · + an ).
n→∞ n→∞

Cuando la sucesión de sumas parciales no es convergente (esto es, no tenga límiteo bien el límite sea ±∞), diremos que la serie es divergente, en cuyo caso no hablaremos de suma de la serie. Ejemplos: 1) Se denomina serie geométrica de razón r y primer término a, siendo a y r dos números reales no nulos, a la
∞ X

n=1

arn−1 = a + ar + ar2 + · · ·

Esta serie es convergente si y sólo si | r |< 1. En efecto, para r 6= 1, se tiene: Sn = a + ar + . . . + arn−1 = y portanto, • a a) Cuando | r |< 1, entonces lim Sn = y la serie es convergente independientemente del 1−r a . valor de a siendo su suma 1−r b) Cuando | r |> 1, la serie es divergente ya que ⎧ +∞ si r > 1 y a > 0 rn − 1 ⎨ −∞ si r > 1 y a < 0 = lim Sn = lim a n→∞ n→∞ ⎩ r−1 no existe si r < −1 arn − a r−1

2) La serie

P1 se denomina serie armónica. Dicha serie es divergente pues se verifica que lim...