Series de potencias

Tema 4

Series de Potencias
Una expresi´on de la forma
+∞
2

n

a0 + a1 (x − c) + a2 (x − c) + . . . + an (x − c) + . . . =

n=0

an (x − c)n

recibe el nombre de serie de potencias centrada en c.
Una serie de potencias puede ser interpretada como una funci´
on de x
+∞

f (x) =
n=0

an (x − c)n

cuyo dominio es el conjunto de los x ∈ R para los que la serie es convergentey el valor de f (x) es, precisamente, la suma de la serie en ese punto x.
Las series de potencias, vistas como funciones, tienen un comportamiento
bueno, en el sentido de que son funciones continuas y derivables de cualquier
orden. M´as a´
un, su funci´on derivada es, otra vez, una serie de potencias.
Desde un punto de vista m´
as pr´
actico, las series de potencias aproximan
a su funci´on suma. Es decir, la suma parcial de orden n, que no es m´as
que un polinomio de grado n a lo sumo, representa una aproximaci´
on a la
funci´
on suma en su dominio de convergencia. En la siguiente figura, Fig. 4.1,
puede verse la funci´on f (x) = ex junto con algunas aproximaciones mediante
sumas parciales de su serie de potencias.

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Figura 4.1: Aproximaci´
on a ex por su seriede potencias

4.1.

Radio de convergencia

Nuestro objetivo ahora ser´a determinar el dominio de una serie de potencias.
Por una parte est´a claro que el centro c siempre est´
a en el dominio ya que
+∞

f (c) =
n=0

an (c − c)n = a0

Puede ocurrir que la serie s´olo sea convergente en x = c, pero, en general,
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el campo de convergencia ser´
a un intervalo; como nos indica elresultado
siguiente.
+∞

Teorema 4.1 Sea
n=0

an (x − c)n . Entonces es cierta una, y s´
olo una, de las

tres afirmaciones siguientes:
1. La serie s´olo converge en x = c.
2. Existen R > 0 de manera que la serie converge (absolutamente) si
|x − c| < R y diverge si |x − c| > R.
3. La serie converge para todo x ∈ R.
Al n´
umero R se le llama Radio de convergencia de la serie. Paraunificar
todos los casos, entendemos en el caso (1) que R = 0, y en el caso (3) que
R = +∞.
Por tanto el dominio o campo de convergencia de una serie de potencias es
siempre un intervalo, ocasionalmente un punto, que llamaremos intervalo de
convergencia. Notar que el teorema precedente no afirma nada respecto de
la convergencia en los extremos del intervalo, c − R y c + R.
Veremosseguidamente una f´
ormula para calcular el radio de convergencia:
+∞

Teorema 4.2 (Cauchy-Hadamard) Sea
n=0

Entonces,
A=0
A = +∞

⇒

an (x−c)n y sea A := l´ım n |an |.
n

R = +∞
⇒

0 < A < +∞

R=0
⇒

R=

1
A

Nota: El s´ımbolo l´ım an representa el l´ımite superior de la sucesi´on {an }
el cual viene definido como el mayor de los l´ımites de las subsucesiones convergentes de{an }. Obviamente, si la sucesi´on {an } es convergente, entonces
l´ım an = l´ım an por lo que concluimos que
n

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Si existe l´ım
n

Si existe l´ım
n

n

|an | = A ⇒ R =

1
A

|an+1 |
1
=A⇒R=
|an |
A

La utilizaci´on de un criterio u otro depender´
a de la forma que tenga el
t´ermino an .
Ejemplo 4.1 Considera la serie de potencias
+∞

1 + x + (2!)x2 + (3!)x3 + .. . + (n!)xn + . . . =

(n!)xn
n=0

En esta serie an = n! de donde
A = l´ım
n

(n + 1)!
|an+1 |
= l´ım
= l´ım(n + 1) = +∞ ⇒ R = 0
n
n
|an |
n!

As´ı pues, la serie s´olo converge en x = 0.
+∞

Ejemplo 4.2 Sea la serie de potencias
de convergencia llamamos an =

n2n+1 n
x . Para calcular su radio
n2 +1
2
n=0

n2n+1
y obtenemos
2n2 +1
1

A = l´ım
n

n

|an | =l´ım
n

n

n2+ n
n2n+1
=
l´
ım
1 = 0 ⇒ R = +∞
n 2n+ n
2n2 +1

As´ı pues, la serie es convergente para cualquier valor de x ∈ R. Luego el
intervalo de convergencia es I = R =] − ∞, +∞[.
+∞

Ejemplo 4.3 Sea la serie de potencias
n=1

n3 n
x . Para calcular su radio de
4n

n3
convergencia llamamos an = n y obtenemos
4
√
3
( n n)3
1
n n
n
A = l´ım |an | = l´ım
=...