Series de Taylor

SERIE DE TAYLOR.
Su forma generalizada es:
f ( xi 1 )  a  a1 ( xi 1  xi )1  a2 ( xi 1  xi ) 2  a3 ( xi 1  xi ) 3  ..  an ( xi 1  xi ) n
En donde a0, a1, a2, a3,… an son coeficientes de combinación
1, (xi+1-xi), (xi+1-xi)2, (xi+1-xi)3,…, (xi+1-xi)n son las funciones linealmente independientes que
conforman una base del espacio vectorial de las funciones continuas.
Cualquierfunción está representada por este polinomio.
Representar una función con este polinomio es lo que se denomina desarrollo en serie de
Taylor o expansión en serie de Taylor.
Para describir completamente este polinomio, evaluaremos los coeficientes de combinación y
los haremos mediante derivación sucesiva.
El polinomio de Taylor, que es la combinación lineal de la base 1, (xi+1-xi), (xi+1-xi)2,(xi+1xi)3,…, (xi+1-xi)n , es un generador de funciones continuas dentro de su espacio vectorial de
dimensión infinita. Los valores de los coeficientes son los valores de la función y sus
derivadas, todas evaluadas en un punto base o punto de expansión xi, lo que implica
La serie de Taylor provee un medio para predecir el valor de una función en un punto en
términos de la función y sus derivadasen otro punto.
El primer término de la serie es f(xi+1)=f(xi) y se le conoce como aproximación de orden
cero. Donde xi es el punto base
Si la función no cambia da una estimación casi perfecta ≈ cte.
Si la función cambia se requieren términos adicionales.
La aproximación de 1er orden se tiene sumando otro término al anterior.
f(xi+1)  f(xi) + f’(xi)/1! (xi+1 - xi)1
y

= b

+

m

xtérmino de 1er orden, es para tener una tendencia lineal
entonces se le agrega un término de segundo orden para obtener una curva y tener una
mejor aproximación
f ( xi 1 )  f ( xi ) 

y

=

b

f '( xi )
f "( xi )
( xi 1  xi )1 
( xi 1  xi ) 2
1!
2!

+ m

x

+

n

x2

como una ecuación polinomial.

1 /metodosnumericosfq@yahoo.com.mx

de igual manera sepuede agregar términos adicionales para desarrollar la expansión
completa de la serie de Taylor.
f(xi)
f(xi+1)=f(xi)

orden cero
1er. orden

f(xi+1)  f(xi) + f’(xi)/1! (xi+1 - xi)1
2do orden
f ' ( xi )
f " ( xi )
f ( xi 1 )  f ( xi ) 
( xi 1  xi )1 
( xi 1  xi ) 2
1!
2!
xi+1

xi=0

x

h
Entonces la Serie de Taylor queda de la siguiente manera:
f ' ( xi )
f " ( xi )f ' ' ' ( xi )
f n ( xi )
f ( xi 1 )  f ( xi ) 
( xi 1  xi )1 
( xi 1  xi ) 2 
( xi 1  xi ) 3  .. 
( xi 1  xi ) n  Rn
1!
2!
3!
n!
se incluye el término residual para considerar todos los términos desde n+1 hasta el infinito.

f n 1  
xi 1  xi n1
n  1!
Donde n = indica que el residuo es de la aproximación a enésimo orden.
 = cualquier valor entre xi yxi+1 (puede usar la función random o función aleatoria en
computación), este valor da una estimación exacta del error, puede ser un valor promedio
entre ellos o inclusive podemos usar el teorema del valor medio.
Rn 

Se puede simplificar convenientemente la serie de Taylor definiendo un paso h= xi+1 - xi
f ( xi 1 )  f ( xi ) 

f ' ( xi ) 1 f " ( xi ) 2 f ' ' ' ( xi ) 3
f n ( xi ) nh 
h 
h  .. 
h  Rn
1!
2!
3!
n!

Residuo para la expansión en serie de Taylor.

Rn 

f ( n 1)   n 1
h
n  1!

f(x)

n=0
f(xi+1)f(xi)

Predicción exacta

Ro

f "( xi ) 2 f (3) ( xi ) 3
R0  f '( xi )h 
h 
h  ...
2!
3!
Simplificando el residuo: Rof'(xi)h
esto da una inexactitud

Predicción de orden cero

xi

2 /metodosnumericosfq@yahoo.com.mxxi+1
h

f(xi)
x

Una alternativa es el teorema del valor medio: si una función f(x) y su primera derivada son
continuas sobre el intervalo xi a xi+1, existe al menos 1 punto sobre la función que tiene una
pendiente dada por f'(), que es paralela a la que une f(xi) con f(xi+1).
Pendiente=m=

f(x)

m

xi



f'()

R0
h

n=1 R1 

f "( ) 2
h , =( f(xi)+f(xi+1))/2...