Series de taylor

Series de Taylor
En este tema se mostrará cómo obtener representaciones en series de potencias de funciones que tienen derivadas de todos los órdenes, es decir, funciones que son infinitamentediferenciables.


esta serie se denomina serie de Taylor de f en a. el caso especial , es cuando a = 0, es :

y se llama:

Serie de Mclaurin.
Esta representación tiene tres ventajas importantes:1. La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.
2. Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.3. Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.

Esta serie describe exactamente a la función f(x) cuandocoincida con la fórmula de McLaurin y para ello deberá cumplirse que:

1)Se trabaje en el intervalo de convergencia de la serie y

2) .

Ejemplo: Sea f(x) = ex


Veremos si .que .

Ejemplos:

Desarrollar f(x) = sen x en serie de potencias.
f(x) = senx ; f(0)=0
f'(x) = cosx ; f '(0)=1
f"(x)= -senx; f"(0)=0
f"'(x)= -cosx ; f"'(0)=-1
fIV(x)= senx ;fIV(0)=0
fV(x)= cosx ; fV(0) =1 y generalizando

pero en todo caso siempre son en valor absoluto menores que 1,

y finalmente:
con lo que y finalmente


Estudiemos elintervalo de convergencia

y por lo tanto I = R



Serie de Taylor
En matemáticas, la serie de Taylor de formula función (f) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervaloabierto (a-r, a+r) se define con la siguiente suma:

sin(x) y aproximaciones de Taylor, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.

Aquí, n! es el factorial n y f (n)(a) indica la n-ésimaderivada de f en el punto a.
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la...