series fourier

Ecuaciones Diferenciales
Tema 4. Series de Fourier
Ester Simó Mezquita
Matemática Aplicada IV

1

Tema 4. Series de Fourier

Tema 4. Series de Fourier
1.
2.
3.

4.

2

Funciones periódicas
Serie de Fourier de una función periódica
Convergencia. Teorema de Dirichlet. Fenómeno de
Gibbs
Forma compleja de la serie de Fourier. Análisis
espectral

Tema 4. Series de Fourier1. Funciones periódicas
Una función se dice que es periódica si existe

tal que

para todo
Diremos que

es un periodo de

Notemos que si

es un periodo de

, también los son

El valor de

más pequeño que verifica

le llamaremos el periodo fundamental de
Mientras no digamos lo contrario, cuando hablemos de periodo de una función
nos estaremos refiriendo a su periodofundamental

3

Tema 4. Series de Fourier

1. Funciones periódicas
Las funciones periódicas básicas son el seno y el coseno, que se pueden
expresar con un periodo arbitrario
como

Por lo tanto la función
tiene periodo

tal que

es decir

4

Tema 4. Series de Fourier

1. Funciones periódicas
Recordemos que, la frecuencia fundamental de una función con periodo
(fundamental)
esmientras que la frecuencia angular fundamental viene dada por

5

Tema 4. Series de Fourier

1. Funciones periódicas
Podemos encontrar nos las funciones trigonométricas expresadas

Al valor
entre

se le llama amplitud de la señal, ya que las imágenes oscilan
y

Al ángulo
se le llama fase de la función trigonométrica (ya que la gráfica
queda desfasada horizontalmente)

>>t=0:.01:2;
>> y=0.5*cos(2*pi*t);
>> plot(t,y,'b');
>> y=0.5*cos(2*pi*t+pi);
>> plot(t,y,'g');

6

Tema 4. Series de Fourier

1. Funciones periódicas
Construcción de funciones periódicas
Definir la función arbitrariamente sobre un intervalo de longitud igual a un
periodo y repetirla fuera de él
Sea

una función arbitraria, escribiremos

y la extenderemos periódicamente fuera desiendo

7

Tema 4. Series de Fourier

1. Funciones periódicas
Notemos que:
1. Este procedimiento proporcionará una función
que no es necesariamente el periodo fundamental
Efectivamente, si

2. Aunque
será si

8

con periodo

es periódica con un número entero de periodos en

sea continua, la función periódica

que se obtiene no lo

Tema 4. Series de Fourier

1. Funcionesperiódicas
Veamos algunos ejemplos de funciones periódicas construidas siguiendo este
procedimiento

y está extendida periódicamente
fuera de
9

Tema 4. Series de Fourier

1. Funciones periódicas

con periodo 1
Notar: los segmentos verticales indican discontinuidades de salto
10

Tema 4. Series de Fourier

1. Funciones periódicas

con periodo
Notar: en la figura aparece en rojola parte de la gráfica de
que
falta para completar un periodo natural. Los segmentos verticales indican
discontinuidades de salto.
11

Tema 4. Series de Fourier

1. Funciones periódicas
Suma de funciones periódicas
La suma de funciones periódicas da como resultado una función periódica
si el cociente de los periodos implicados ,
y
, es racional, en tal caso
diremos que los periodosson conmesurables

Ejemplo:
es una función periódica
puesto que

12

Tema 4. Series de Fourier

1. Funciones periódicas
Calculemos su periodo
El periodo de la función total es el
positivos
y
de manera que

Igualando las dos expresiones para

más pequeño tal que existen enteros

queda

Los enteros positivos más pequeños para los que se cumple la igualdad
anterior son
, yse obtiene

13

Tema 4. Series de Fourier

1. Funciones periódicas
Ejemplo
La función

no es periódica

Los dos periodos no son conmesurables

14

Tema 4. Series de Fourier

2. Serie de Fourier de una función periódica
Nota histórica
A principios del siglo XIX Jean-Baptiste-Josep Fourier, estudiando los
fenómenos relacionados con la conducción del calor, llegó a la...