Series geometría recta y plano

COORDINACIÓN DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

SERIE No.

“3”

2004-2

“LA RECTA Y EL PLANO”
1.

Sea L la recta cuyas ecuaciones son:

y = 3
L: 
z = 1
Calcular:
a) La distancia del origen de coordenadas, a la recta L.
b) La distancia entre la recta L y el eje de las cotas.
c) Los ángulos α , β y γ que forma la recta L con los ejes coordenados X,
Y y Z, respectivamente.
2.

Sean L1y L2 las rectas cuyas ecuaciones son:
y − 1 3 − 3z
=
−3
a
4z
x
=y=−
L2 :
−4
b
L1 : x = 1;

Si dichas rectas son perpendiculares entre sí, y además se intersecan,
determinar los valores de “a” y “b”.
3.

Sean las rectas L y R definidas de la siguiente manera:
L: contiene al origen, está contenida en el plano YZ, y forma un ángulo de
60° con el eje Y.
R: es paralela al eje Z ycorta al eje X en el punto P de coordenadas (2, 0, 0).
a) Determinar unas ecuaciones paramétricas de las rectas L y R.
b) Indicar si las rectas L y R definen un ángulo entre sí. En caso afirmativo,
calcularlo; en caso contrario, justificar su respuesta.

4.

Sean las rectas L1 y L2 cuyas ecuaciones son:
L1 : p =( 1 − t ,0,1 − t )
3

L2 :1 − x= 2

− 32z
−3

; y =0

a) Determinarsi L1 y L2 son paralelas, si se cruzan o si se cortan.
b) En caso de que L1 y L2 se corten, determinar el punto de intersección; en
caso de que se crucen o sean paralelas, calcular la distancia entre ellas.

5.

Determinar las coordenadas del punto de intersección entre la recta:

x − 4 z
=

L:  −4
8
y = 6

y la recta R que contiene a los puntos (4, 6, 8) y (0, 6, 0).
6.Calcular la distancia entre la recta

z = 8 − 2 x
L: 
y = 6
y el eje de las abscisas.
7.

Sea la recta R que contiene al punto P(4, -1, 0), que es perpendicular al eje X, y
cuyo vector director tiene como ángulos directores β < 90° y γ=126.87° ; y sea
la recta L, una de cuyas ecuaciones vectoriales es:

p = (2 , y 0 , − 1) + t (1, − 3 , c )
Determinar los valores de y0 y c, tales quelas rectas R y L se intersequen
perpendicularmente.
8

Sea la recta L que tiene por ecuaciones:
L: 2 x − 4 = − z;

y+6=0

Determinar las coordenadas del punto de la recta que está más cerca del
origen de coordenadas.

9.

Determinar unas ecuaciones paramétricas de la recta L que es coincidente
con el eje X.

10.

Determinar unas ecuaciones paramétricas de la recta R, quecontiene al
punto A(3, 1, 0) , y que corta perpendicularmente a la recta L que tiene por
ecuaciones:
4 − 2x y + 1 3 − z
L:
=
=
2
2
2

11. Sea la recta L1 la cual contiene al punto A ( 2 , 2 , 3 ) y se interseca con la
x = 3
recta L2 : 
y forman un ángulo de 30°. Determinar las coordenadas del
z = 2
punto de intersección entre ambas rectas.
12.

Calcular la distancia entre lasrectas L1 y L2 de ecuaciones:
L1:

x + 2 y − 1 − ( z + 4)
=
=
−3
2
5

 x = 3 + 5t

L2 :  y = 2 − t
 z = 1 + 4t


13.

Sea la viga AB que tiene por extremos a los puntos A(1, 2, 3) y B(7, 6, 5).
Si desde el punto C(4, 5, 10) cae en forma vertical un objeto, determinar si
éste golpea a la viga. En caso afirmativo, determinar el punto de contacto;
en caso contrario, calcular aqué distancia de la viga pasará el objeto.
Nota: despreciar el ancho de la viga y el del objeto.

14.

Sea la recta L que contiene al punto A(2, 4, 6) y que forma ángulos agudos
iguales con los ejes X y Y. Si el ángulo entre la recta L y el eje Z es de 45° ,
determinar:
a) El ángulo que forma la recta L con los ejes X y Y;
b) Unas ecuaciones paramétricas de la recta L;
c) El punto en elcual la recta L se interseca con el plano XZ.

15.

Sea la recta L1 que contiene al punto A(4, 0, 4), que interseca a la recta L2
y forma con ésta un ángulo de 60° . Si las ecuaciones de la recta L2 son:

2−x =

y +1 z −1
=
3
2

determinar las coordenadas de los puntos de intersección entre L1 y L2
(hay dos soluciones).
16.

Sean las rectas:

L1 :

3z − 6
x −1
= −y =
2
9...