Series Matematicas Trababajo

Serie matemática
En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a1 + a2 + a3 + · ·  lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio: .
El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y medianteun pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.
Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serieinfinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza deconvergencia o no-convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.
[editar]Definiciones
[editar]Sumas parciales
La sucesión de sumasparciales  asociada a una sucesión  está definida para cada  como la suma de la sucesión  desde  hasta :
.
Muchas de las propiedades generales de las series suelen enunciarse en términos de las sumas parciales asociadas.
[editar]Convergencia
Por definición, la serie  converge al límite  si y solo si la sucesión de sumas parciales asociada  converge a . Esta definición suele escribirse como
.[editar]Ejemplos
Una serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón r. En este ejemplo, con r = 1/2):

En general, una serie geométrica es convergente, sólo si |r| < 1, a:
La serie armónica es la serie

La serie armónica es divergente.
Una serie alternada es una serie donde los términos cambian de signo:Una serie telescópica es la suma , donde an = bn − bn+1:

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

Una serie hipergeométrica es una serie de la forma:
, con  = .
[editar]Convergencia de series
Véanse también: Serie convergente y Serie divergente
Una serie  ∑an  se dice que es convergente (o que converge) si la sucesión SN de sumas parciales tiene unlímite finito. Si el límite deSN es infinito o no existe, se dice que la serie diverge. Cuando este límite existe, se le llama suma de la serie.

Si todos los an son cero para n suficientemente grande, la serie se puede identificar con una suma finita. El estudio de la convergencia de series, se centra en las propiedades de las series infinitas que incluyen infinitos términos no nulos. Por ejemplo,el número periódico

tiene como representación decimal, la serie
.
Dado que estas series siempre convergen en los números reales (ver: espacio completo), no hay diferencia entre este tipo de series y los números decimales que representan. Por ejemplo, 0.111… y 1/9; o bien 1=0,9999...

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Sucesión matemática-------------------------------------------------

Una sucesión infinita de números reales (en azul). La sucesión no es ni creciente, ni decreciente, ni convergente, ni es unasucesión de Cauchy. Sin embargo, sí es unasucesión acotada.
En matemáticas, una sucesión es una lista ordenada de objetos, cada uno de ellos denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblementeinfinitos) se le denomina la longitud de la sucesión.
A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es relevante y un mismo término puede aparecer en más de una posición. De manera formal, una sucesión puede definirse como una función sobre el conjunto de los números naturales (o un subconjunto del mismo) y es por tanto una función discreta.
Ejemplo
La sucesión (A, B, C)...