Series matematicas

 SERIES.

Definición de serie.

Las series son una parte esencial en el campo de las Matemáticas.
Aunque se define simplemente como la suma de términos finitos o infinitos, tiene una gran importancia.
Una serie finita termina finitamente, esto es, tiene definido tanto el primer como elúltimotérmino.
Por otro lado, una serieinfinita continúa sin interrupción.
Por ejemplo: {1, 3, 6, 8} se puede considerar como una serie finita, mientras que una serie de la forma {2, 4, 6 8…} es un ejemplo de serie infinita.
En algunos casos, es beneficioso convertir un número o una función en forma de series infinitas lo cual a su vez puede ayudar en su cálculo.
Incluso puede lograr que el cálculo complejo sea más fácil.
Porejemplo, para el cálculo exponencial, este puede ser convertido en la forma:

Esta técnica de expansión puede ser utilizada eficazmente con el fin de obtener los valores estimados de la función, de las integrales o para resolver ecuaciones diferenciales, algebraicas o integrales.
Cuando la serie infinita es reemplazada por la suma de los términos inicialesde la serie, un valor de error aproximadopuede ser estimado, lo que a su vez, ayuda en la determinación de la razón de convergencia efectiva para la serie correspondiente.
Las series pueden ser convergentes o divergentes. Una serie convergente tiene las siguientes propiedades:
1) Si el término parcial de la sucesión de la serie converge, entonces se dice que toda la serie es convergente. Por otro lado, si el término parcial de lasucesióndiverge, la serie también diverge.
2) En caso que el resto de alguna parte de la serie converja, entonces toda la serie converge y viceversa.
3) Si una serie de la forma  converge, entonces la serie de la forma  converge también.
4) Si la serie de la forma  converge, entonces la serie de la forma  converge.
5) La serie  converge, sólo con la condición de que  también converja.
6) Se dice queuna serie de la forma  es convergente si α> 1 y diverge en el caso inverso, es decir, cuando α 0, el cual satisface la condición , n>nε. Aquí p es un entero positivo.
Una serie que contiene los términos positivos tiene su importancia en la teoría de las series.
Una condición necesaria e importante para que estos tipos de seriessean convergentes es que la sucesión de la suma parcial debe serlimitada.
Por otro lado, si se cumple la condición , entonces la serie diverge.
Veamos un ejemplo del concepto de series convergentes y divergentes. Suponga que la forma de la seriees .
Con el fin de determinar si la serie dada converge o diverge, lo primero y más importante a determinar es si la suma parcial de la sucesión diverge o converge. La suma parcial de la sucesión parala seriecorrespondiente puede ser dada como . Se puede observar que el límite de los términos de la suma parcial es divergente al infinito .
Por lo tanto, se dice que toda la serie es divergente.

Serie Finita.
Finitas.
Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene unaexpresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución deecuaciones diferenciales.


La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hacecorresponder la función f con Δf. El teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula

Donde D denota el operador derivada, que hace corresponder  con su derivada , es decir, 
Formalmente, invirtiendo la exponencial,

Esta fórmula sigue siendo válida en el sentido de que ambos operadores dan el mismo resultado cuando se aplican a un polinomio. Incluso para funciones analíticas, las series de la...