Series Numericas

19/01/2012 PRUEBA ELIMINATORIA BLOQUE II. MATEMÁTICAS 2 Grado en Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación, Sonido e Imagen

) ) II.1- a) (0.6 p.) Comprueba que 0.9 = 1 . Para ello escribe 0.9 =0.9999... = 9 ⋅10 −1 + 9 ⋅10 −2

+ 9 ⋅ 10 −3 + 9 ⋅ 10 −4 + ... como serie numérica, comprueba que converge y calcula su suma. ∞ (−1) n 2 2 n b) (0.6 p.) A partir de una serie geométrica determina elcarácter de la serie ∑ y 3n+1 n =1
calcula, si es posible, el valor de su suma.

II.2- (4x0.6 p.) Determina el carácter de las siguientes series numéricas:

 3 a) ∑ 1 +  n n≥1 

n

n!b) ∑ n≥0 ( 2n)!

 32n 2 + 2   c) ∑  3   n≥1  3n − 1 

2n

d)

∑
n =1

∞

3

(−1) n n+2 n

II.3- (2x0.6 p.) Un sistema LTI discreto y causal es estable BIBO si la serie

∑ h(n)
n =1

∞

es

absolutamente convergente, siendo h(n) la respuesta del sistema al impulso. Analiza la estabilidad del sistema si h(n) =

(−1) n cos(nπ ) y si h(n) = 5 . 3 n +1 n
Calcula elradio y el intervalo de convergencia de la serie de potencias

II.4- (0.9+0.3 p.)
n

(−1) ∑ n 2 4n x n . Determina, a partir del apartado anterior, si la serie n≥1

(−2) n ∑ n 2 es convergente. n≥1
sen(2 x) en la forma x

(**) II.5- a) (1 p.) Determina la serie de McLaurin de la función f ( x) =

general. b) (0.4 p.) Obtén el polinomio de Taylor de grado 2 en el origen, P2 ( x) , queaproxima la función anterior f(x). c) (0.4 p.) Sabiendo que f (x) es continua y acotada en el origen, calcula una aproximación del valor de

∫

1

0

f ( x)dx utilizando P2 ( x) .

II.6-(0.8+0.2+0.2 p.) Identifica la función f(x) que viene representada por la serie

(−4) n+1 2 n+2 ∑ (2n + 1)! x . Calcula la suma de n≥ 0

(−1) n ∑ (2n + 1)! a partir de f(x) y determina para quévalores n≥ 0
∞

de x es cierta la representación en serie de f(x).
n II.7- (0.6+0.2+0.2 p.) Encuentra la serie de potencias f ( x) = ∑ an x con radio de convergencia no n =0

(0) = 0 , f nulo que...