Series Taylor y series de potencia para ln

SERIE DE TAYLOR
Una serie de Taylor es una representación de una función como una infinita suma de términos.
Estos términos se calculan a partir de las derivadas de la función para un determinadovalor de la variable (respecto de la cual se deriva), lo que involucra un punto específico sobre la función. Si esta serie está centrada sobre el punto cero, se le denomina serie de McLaurin.
Estarepresentación tiene tres ventajas importantes:
la derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales;
se puede utilizar paracalcular valores aproximados de la función;
es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.
La serie de Taylor deuna función f real o compleja ƒ(x) infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias,

es decir, una función infinitamente derivable en unintervalo puede representarse como un polinomio a partir de sus derivadas evaluadas en un punto “a” de dicho intervalo que puede ser escrito de una manera más compacta como la siguiente sumatoria del teorema8.9.1 del libro de Leithold 7edicion:








donde:
n! es el factorial de n
f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f para el valor a de la variable respecto de la cual se deriva.CONCLUSIONES
Hacer una función equivalente a un polinomio de Taylor permite aproximar los valores mediante operaciones más simples (productos y sumas), aplicar las propiedades de lassumatorias, aproximar derivadas e integrales entre otros.
Toda serie de potencias viene caracterizada por su radio de convergencia. Para valores de la variable dentro de dicho radio de convergencia, laserie converge, es decir, la suma de sus infinitos términos converge a un valor finito. Determinar el radio de convergencia es fundamental para poder manipular la serie de potencias como una función...