Series Y Criterios De Convergencia

Algunos tipos de series
• Una serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón. Ejemplo (con constante 1/2):[pic]
En general, una serie geométrica, de razón z, es convergente sólo si |z| < 1 a:
[pic]
• La serie armónica es la serie
[pic]
La serie armónica es divergente.
•Una serie alternada es una serie donde los términos alternan el signo. Ejemplo:


• Una serie telescópica es la suma [pic], donde an = bn − bn+1. Se representa de la siguiente manera:La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:
[pic]

Criterios de convergencia

Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o sidiverge ([pic] u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de que tipo es (convergente o divergente).
Criterio de D'Alembert o Criterio delCociente
Sea una serie [pic], tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).
Si existe
con , el Criterio de D'Alembert establece que:
• si L < 1, laserie converge.
• si L > 1, entonces la serie diverge.
• si L = 1, no es posible decir nada sobre el comportamiento de la serie.

Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Sea una serie [pic], talque ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe
[pic] , siendo [pic]





Criterio de Leibnitz

Una serie de la forma [pic](con [pic]) se llama alternada. Talserie converge si se cumplen las siguientes condiciones:
a) [pic]para n par y n impar
b) La serie tiene que ser absolutamente decreciente es decir que: [pic]
Si esto se cumple la serie [pic]escondicionalmente convergente de lo contrario la serie diverge.
Nota:Se debe descartar primero la convergencia absoluta de [pic]antes de aplicar este criterio, usando los criterios para series positivas....