series y demostracion

SERIES

En la aritmética elemental se define la suma como una operación con un número finito de términos. Por lo tanto el símbolo: carece de sentido.
Definición: es una sucesión, consideremosla nueva sucesión: /



………………….

Esta nueva sucesión se llama serie de término general y reducida de orden n de la serie a .

Clasificación:
Si   R  la serie es convergente.
Si  o  la serie es propiamente divergente.
Si   la serie es impropiamente divergente.
Si oscila  la serie es oscilante.

Serie Geométrica.
Definición: Una sucesión de la forma: ; se llamageométrica de razón .
Teorema: Sea:==
Demostración:
= =
-=  = =
Definición: Llamaremos serie geométrica a =
Teorema: Sea: =
Demostración:
Si  = = = , pues  converge.
Si  = =  , pues diverge.
Si  = = = + 
Si  == oscila.

Serie Telescópica.
Definición: Se llama serie telescópica a la serie cuyo término general es .
Resulta entonces: ==

Teorema:
Si   R  laserie es convergente.
Si   la serie es impropiamente divergente.
Demostración:
Si   = =  converge.
Si  = = =  diverge.

Serie Armónica.
Definición: Llamaremos serie armónica a =, dóndecada término es media armónica de sus dos adyacentes.
Teorema: es divergente.
Demostración: Sea
Sn= = > =
= y como  lím Sn= +  diverge.
Teorema: 
Demostración:
Sea Sn= =  = =que es geométrica de razón
si 1  converge  p > 1.
si >1  p < 1  diverge  p < 1.
Propiedades Generales de las series.
Teorema: Si =es convergente =es convergente.
Demostración: Si  .Corolario: Si =es divergente y k  0 =es divergente.
Teorema: Si =es convergente y =es convergente =es convergente.
Demostración: Pues si y 
Teorema: Si = es convergente y = es convergente  =es convergente.
Demostración: Es consecuencia de los 2 teoremas anteriores.
Teorema: Si =es convergente y =es divergente =es divergente.
Demostración: Pues si y  .
Nada puede asegurarse si...