series y sucesiones numericas

Las sucesiones de Fibonacci fueron bautizadas en honor del italiano
por el teórico francés Edouard Lucas.
Una sucesión de Fibonacci es aquella donde cada número es el
resultado de sumar los dos que lo preceden. Así, la primera y más básica
sucesión de Fibonacci es
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...
respondiendo a la fórmula
an = an-1 + an-2
Según la historia estasucesión surge al estudiar la … propagación de
conejos.

Lo interesante de las sucesiones de Fibonacci es que prácticamente
cualquiera (con la sola condición de que domine la aritmética básica) puede
investigarlas, descubrirles nuevas propiedades y desarrollar teoremas
propios, inéditos y curiosísimos sobre ellas. Parecen existir infinitos
teoremas de Fibonacci, y amateursmatemáticos casi absolutos han escrito y
publicado interminable cantidad de sesudos libros acerca de ellos.
Además, las sucesiones de Fibonacci aparecen en infinidad de objetos
de la naturaleza.
Si se observa un árbol, en la primera parte hay un tronco, le sigue, en
la segunda, una parte más fina, en la tercera, dos ramas, en la cuarta, tres,
luego cinco y ¡Fibonacci presente!

Lasaplicaciones de los números de Fibonacci son también, al parecer,
infinitas: se utilizan en generación de números al azar, en la búsqueda de
valores máximos y mínimos de funciones complejas de las que se ignora la
derivada, en trabajos de clasificación de datos, en recuperación de
información en computadoras, y mil etcéteras más.
Los fractales son sucesiones de Fibonacci
Entre las muchascuriosidades de las sucesiones de Fibonacci, una de
las más extrañas propiedades de las mismas es que la razón entre cada par
de números consecutivos va oscilando por encima y por debajo de la razón
áurea, y que a medida que avanzamos en la serie, la diferencia de la razón de
Fibonacci con la razón áurea se va haciendo cada vez menor. En teoría,
cuando llegásemos al último par de números,resultaría
1,61803...
que es, precisamente, la llamada “razón áurea”.
La afirmación anterior se demuestra fácilmente. En el ejemplo,
3 / 2 = 1,5
bastante por debajo de la razón áurea. Pero
5 / 3 = 1,66
algo por encima, pero menos que antes. Siguiendo resulta
8 / 5 = 1,6 ; 13 / 8 = 1,625 ; 21 / 13 = 1,6153 y 34 / 21 = 1,61904 lo cual ya se acerca bastante.
Las extrañas aparicionesde las sucesiones de Fibonacci y de la razón
áurea han dado lugar a interminables especulaciones y análisis y, por
supuesto, a una abundante bibliografía. Se sabe que los caparazones
espirales de muchos caracoles se rigen por ella, como ciertas proporciones
de la anatomía humana, animal y vegetal. También se han hallado
manifestaciones de estas entidades en las artes plásticas, laarquitectura y
la poesía. Varios bardos romanos, especialmente Virgilio en la Eneida,
parecen haber utilizado las series de Fibonacci en la estructura de sus
obras poéticas.
En las ciencias naturales, es bien conocida la estructura de Fibonacci
en la disposición de las semillas en los girasoles. Las semillas, ubicadas en la
gran parte central de las flores, tienen una implantación en espiral:hay dos
grupos de espirales, gobernadas por dos funciones logarítmicas. Un grupo
gira en sentido horario y otro en el antihorario. La cantidad de espirales
logarítmicas en cada grupo sigue números de Fibonacci consecutivos.

Disposición de Fibonacci de las semillas del girasol
Las abejas también tienen relación con los números de Fibonacci: si se
observan las celdas hexagonales deuna colmena y se coloca a una abeja en
una cualquiera de ellas, y se le permite alimentar a la larva, suponiendo que
continuará siempre por la celda contigua de la derecha, hay sólo una ruta
posible para la siguiente celdilla; dos hacia la segunda, tres hasta la tercera,
cinco hasta la cuarta, ocho rutas posibles hacia la quinta, etcétera.
Los machos o zánganos de la colmena tienen...