Series y sucesiones


Sucesiones y Series


Sucesiones

Conceptos básicos

Existen muchas maneras de definir una sucesión según la aplicación que se le está dando. La podemos definir como un conjunto ordenado de objetos (generalmente números) cada uno de ellos denominado término de la sucesión y en donde el orden en el que aparecen los términos es relevante y un mismo término puede aparecer en más de unaposición.
De otra manera también podemos decir que una sucesión puede definirse como una función sobre el conjunto de los números naturales y es por tanto una función discreta. También que una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos. Aunque esta sea una función normalmente es representada con una notación de subíndices en vez de una notación funcional. Ejemplo:
1,2, 3, 4, 5, …..n, ….
a1, a2, a3, a4, a5, an, …..
1 se aplica en a1, 2 en a2, etc. Llamamos a an el n-ésimo término de la sucesión y esta s denotada por {an}.
La sucesión de funciones es una aplicación que a cada número natural n hace corresponde una función fn. Se usa el símbolo {fn} para representar la sucesión de funciones dada por n->fn para todo n que pertenezca al conjunto de los númerosreales.
Las diferentes definiciones están ligadas al área de trabajo, la más común y poco general es la definición de sucesión numérica, en la práctica se usan sucesiones de forma intuitiva, ósea que depende mucho del área de trabajo y la experiencia que se tenga en esa área.
Una sucesión finita (ak) (de longitud m) con elementos pertenecientes a un conjunto s, se define como una función
.
Yen este caso el elemento ak corresponde a  
Por poner un ejemplo la sucesión finita, (de longitud 4) de números primos menores que 10
2,3,5,7
Corresponde a la función   (donde es el conjunto e números primos) definida por:

Una sucesión infinita ak con los elementos pertenecientes a un conjunto S, se define como una función

En donde, de forma análoga, ak corresponde a .
Una sucesión deformaliza como una aplicación de los números naturales en los números reales es decir:

que se denota simplemente como  o, si se da por entendido que los subíndices son enteros, también se denota como .
El nombre que recibe la sucesión también puede hacer referencia a los valores que toma sobre los reales; así, si la imagen de  fuesen los racionales, es decir fracciones enteras del tipo , sepuede llamar sucesión de números racionales, y lo mismo para los irracionales, naturales, enteros, algebraicos, trascendentes, ...
Puede ser creciente o decreciente. Las hay en progresión aritmética o en progresión geométrica, la diferencia básica es que en la sucesión aritmética la razón de cambio entre un miembro y otro es la suma o resta de la misma razón, y en la sucesión geométrica elsiguiente número de la sucesión se logra por multiplicar o dividir la razón de cambio. En cualquier caso la razón de cambio es constante y no puede variar, a menos que el cambio de la razón también corresponda a una sucesión, lo que supone tener una sucesión dentro de otra sucesión.
El término general de la sucesión queda definido de forma implícita si su valor depende de sus predecesores. En general,dados previamente los valores de , podemos definir el término general de forma inductiva como 
Se dice que una sucesión es finita si determinamos su último término, por ejemplo el n-ésimo:
Genéricamente: , donde  sería el término general si hiciese falta.
ejemplo: 100, 99, 98, ... , 1, 0.








Sucesiones monótonas y acotadas

Sucesiones monótonas: Se dice que una sucesión monótonaes una sucesión creciente o decreciente.
Una sucesión es monótona creciente si se cumple que para n natural an= an)
Ejemplo
an= 1/n es monótona decreciente.
a1= 1, a2= 1/2, a3= 1/3, a4= 1/4,…
se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada termino es mayor que el anterior.
Es estrictamente decreciente si cada termino de la sucesión es menor que el anterior


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