Series y Sucesiones

UNIDAD NUMERO 4. SERIES Y SUCESIONES

UNIVERSIDAD PEDAGOGICA Y TECNOLOGICA DE COLOMBIA
FACULTAD DE ESTUDIOS TECNOLOGICOS Y A DISTANCIA
LICENCIATURA EN EDUCACION BASICA PRIMARIA
CREAD- GARAGOA

SUCESIONES

Una sucesión es un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro.
a1, a2, a3 ,..., an
Los números a1, a2 , a3 ,...; se llaman términos de la sucesión.
El subíndiceindica el lugar que el término ocupa en la sucesión.
El término general es an es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.
Operaciones con sucesiones
Dadas las sucesiones an y bn:
an= a1, a2, a3, ..., an
bn= b1, b2, b3, ..., bn
Suma con sucesiones:
(an) + (bn) = (an + bn)
(an) + (bn) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, ..., an + bn)
Propiedades
1. Asociativa:(an + bn) + cn = an + (bn + c n)
2 .Conmutativa:
an + bn = bn + a n
3 .Elemento neutro
(0) = (0, 0, 0, ..)
an + 0 = an
4 .Sucesión opuesta
(-an) = (-a1, -a2, -a3, ..., -an)
an + (-an) = 0

Diferencia con sucesiones:
(an) - (bn) = (an - bn)
(an) - (bn) = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3, ..., an - bn)
Producto con sucesiones:
(an) · (bn) = (an · bn)
(an) · (bn) = (a1 · b1, a2 ·b2, a3 · b3, ..., an · bn)
Propiedades
1 .Asociativa:
(an · bn) · c n = an · (bn · c n)
2 .Conmutativa:
an · bn = bn · a n
3 .Elemento neutro
(1) = (1, 1, 1, ..)
an · 1 = an
4. Distributiva respecto a la suma
an · (bn + c n) = an · bn + an · c n

Sucesión inversible
Una sucesión es inversible o invertible si todos sus términos son distintos de cero. Si la sucesión bn esinversible, su inversa es:

Cociente
Sólo es posible el cociente entre dos sucesiones si el denominador es inversible.

Límite de una sucesión
Es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión
Sucesiones convergentes
Son las que tienen límite.
Sucesiones divergentes
Son las sucesiones que no tienen límite finito.
Tipos de sucesiones

Sucesiones estrictamente crecientesSe dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.
an+1 > an
Sucesiones crecientes
Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.
an+1 ≥ an
Sucesiones estrictamente decrecientes
Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.an+1 < an
Sucesiones decrecientes
Se dice que una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.
an+1 ≤ an
Sucesiones constantes
Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son iguales, an= k.
an = an+1
Sucesiones acotadas inferiormente
Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que uncierto número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión.
an ≥ k
A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo .
Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.
Toda sucesión acotada inferiormente es creciente.
Sucesiones acotadas superiormente
Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un ciertonúmero K', que llamaremos cota superior de la sucesión.
an ≤ k'
A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.
Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.
Toda sucesión acotada superiormente es monótona decreciente.
Sucesiones acotadas
Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número kmenor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'.
k ≤ an ≤ K'

Progresiones aritméticas
Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se...