Series y sucesiones

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SECUENCIAS Y SERIES |
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José Michel Valencia Hernández |
06/12/2011 |
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Índice
Pág.
Introducción…………………………………………………………………. 2

Series y Sucesiones………………………………………………………….. 3

Tipos de Sucesiones…………………………………………………………. 5

Series………………………………………………………………………… 7
Conclusión…………………………………………………………………... 7

Introducción.Una sucesión es un conjunto de cosas en un cierto orden. Una sucesión es un conjunto ordenado de elementos que responden a una ley de formación. Las series pueden llegar a confundirse con las sucesiones ya que la sucesión es un conjunto ordenado de elementos (como ya se hablara más adelante) y las series son la suma de una sucesión.
La sucesión suele abreviarse:
(an) = (a1, a2, a3,..., an;…)La Serie:
1+2+3+4 = 10

Sucesiones:
En el campo de las matemáticas una sucesión es definida como una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos. Aunque esta sea una función, usualmente es representada con una notación de subíndices en vez de una notación funcional. Por ejemplo:
1, 2, 3, 4, 5,.....n,...........
a1, a2, a3, a4, a5, an,...........
1 se aplica en a1, 2 en a2,etc. Llamamos a an el n-ésimo término de la sucesión y estas denotada por {an}.
Series:
"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es la suma de una sucesión.

Series y Sucesiones
Series y Sucesiones

Definición: Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.
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Finita o infinita
Si la sucesiónsigue para siempre, es una sucesión infinita,
si no es una sucesión finita
Ejemplos
{1, 2, 3, 4,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)
{20, 25, 30, 35,...} también es una sucesión infinita
{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)
{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás
{1, 2, 4, 8, 16, 32,...} es una sucesión infinitadonde vamos doblando cada término
{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en orden alfabético
{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"
{0, 1, 0, 1, 0, 1,...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)
En orden
Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos quéorden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!
Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer muchas veces).
Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1,...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1}
La regla
Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.
Ejemplo: lasucesión {3, 5, 7, 9,...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:

¡Pero la regla debería ser una fórmula!
Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el:
* 10º término,
* 100º término, o
* n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que queramos).
Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el término).Entonces la regla para {3, 5, 7, 9, ...}
Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo:
Probamos la regla: 2n
n | Término | Prueba |
1 | 3 | 2n = 2×1 = 2 |
2 | 5 | 2n = 2×2 = 4 |
3 | 7 | 2n = 2×3 = 6 |
Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que vamos acambiarla un poco:
Probamos la regla: 2n+1
n | Término | Regla |
1 | 3 | 2n+1 = 2×1 + 1 = 3 |
2 | 5 | 2n+1 = 2×2 + 1 = 5 |
3 | 7 | 2n+1 = 2×3 + 1 = 7 |
¡Funciona!
Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como
La regla para {3, 5, 7, 9,...} es: 2n+1
Ahora veamos algunas sucesiones especiales y sus reglas:
Tipos de sucesiones
Sucesiones aritméticas...