Series y sucesiones


¿Cuál es el siguiente?
12-1 Sucesiones numéricas

Trátese de llenar los espacios en blanco del recuadro de apertura. Casi no se tendrá problemas con a, b y c pero d y e pueden ofrecer un reto. Se darán las respuestas que se tengan en mente más tarde. Ahora se señalará que cada sucesión tiene un patrón; se utilizó una regla definida para escribir los primeros seis términos de cada una deellas.
La palabra sucesión es utilizada con frecuencia en el lenguaje común. Por ejemplo, el maestro de historia puede hablar acerca de una sucesión de eventos que llevaron a la Segunda Guerra Mundial (por ejemplo, el Tratado de Versalles, la depresión mundial, el ascenso de Hitler, el Pacto de Munich). Lo que caracteriza a esta sucesión es la noción de que un evento sigue a otro en un ordendefinido. Hay un primer evento, un segundo evento, un tercer evento y así en adelante. Se podría incluso darles etiquetas.
E1: Tratado de Versalles
E2: Depresión mundial
E3 Ascenso de Hitler
E4: Pacto de Munich
Se utiliza una notación semejante para las sucesiones numéricas.
Así
a 1, a 2, a 3, a 4, . . .

Puede denotar a la sucesión a) del recuadro de apertura. Entonces
a 1 = 1
560CAPITULO 12 SUCESIONES, PROBLEMAS DE CONTEO Y PROBABILIDAD
a 2 = 4
a 3 = 7
a 4 = 10
Obsérvese que a3 representa al tercer término; a10 representará al décimo término. El subíndice indica la posición del término en la sucesión. Para el término general, esto es, el n-ésimo término se usará el símbolo an. Los tres puntos indican que la sucesión continúa en forma indefinida. Hay otra manera dedescribir una sucesión numérica. Una sucesión numérica es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos. Esto significa que es una regla que asocia con cada entero positivo n, un número definido en an. De acuerdo con el capítulo 5, se debiera de utilizar la notación a(n), pero la tradición dicta que se utilice en su lugar an. Por lo general se especifican las funciones dandofórmulas; esto también es cierto para sucesiones.
FORMULAS EXPLÍCITAS
En vez de dar los primeros términos de una sucesión y esperar que los lectores vean el patrón deseado (diferentes personas ven algunas veces patrones diferentes en los primeros términos de una sucesión), es mejor dar una fórmula. Tómese la sucesión a) por ejemplo. La fórmula
an = 3n - 2
dice todo lo que hay que saber de la sucesión.En particular,
a 1 = 3 • 1 - 2 = 1
a2 = 3• 2-2 = 4
a 3 = 3-3-2 = 7
a 100 = 3 • 100 - 2 = 298
¿Cómo se encuentra la fórmula para una sucesión? Véase la sucesión b). Supóngase se tiene bn como representante del n-ésimo término. Entonces b1 = 2, b2 = 4, b3 = 6, b4 = 8, y así sucesivamente. Nuestra tarea es relacionar el valor de bn con el subíndice n. Es evidente que exactamente es dos vecesel subíndice, esto es,
bn = 2n
Conociendo esta fórmula, se puede calcular el valor de cualquier término. Por ejemplo,
b10 = 2 • 10 = 20
SECCIÓN 12-1 Sucesiones numéricas 561
b281 = 2 • 281 = 562 Si se sigue el mismo procedimiento para la sucesión c) se tiene
c1 = 1 c2 = 4 c3 = 9 c4 = 16 de donde se deduce la fórmula
cn = n2Obsérvese ahora la sucesión d)
1, 4, 9, 16, 27, 40, ...
El hecho de que empiece como la sucesión c) sugiere que el patrón es sutil y al mismo tiempo nos previene de que se deben ver más términos de una sucesión antes de poder descubrir su regla de construcción. Aquí, como en muchas sucesiones, es una buena idea observar cómo está relacionado cada término con el anterior. Escríbase la sucesiónotra vez, indicando debajo de ella los números que deben ser sumados conforme se avanza de término a término.
1 4 9 16 27 40
3 5 7 11 13
Se debe reconocer el segundo renglón de números como los primos consecutivos (empezando en 3). Así, los dos siguientes términos en la sucesión d) son
40 + 17 = 57
57 + 19 = 76
Pero observar un patrón...