Series y Sucesiones

SERIES Y SUCESIONES
SUCESIONES
Una sucesión puede definirse como una lista de números escritos en un orden establecido; se define
como una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos.
Aunque una sucesión es una función, es común representar las sucesiones empleando subíndices en
lugar de la notación habitual de la función.

El número a1 es el primer termino; a2 el segundotermino y, en general, an es el n-ésimo término.
Manejando sucesiones infinitas cada termino an tendrá un sucesor: an+1.
La sucesión {a1,a2,a3…} también se denota mediante {an} o bien {an}*n =1 ; *=∞
Cuando
es una sucesión entonces
reales o simplemente una sucesión real

es llamada una sucesión de números

SUCESIONES MONÓTONAS.
Se dice que una sucesión es estrictamente creciente cuando :an+1 > an ; si cada término es mayor que el anterior.
Ej.


2, 5, 8, 11, 14, 17,...

→

5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ...

Se dice que una sucesión es creciente cuando:
an+1 ≥ an ; si cada término es mayor o igual que el anterior.
Ej.


2, 2 , 4, 4, 8, 8,...

→

2 ≥ 2; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4; ...

Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente cuando:
an+1 < an ; si cada término de lasucesión es menor que el anterior.
Ej.


1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,...→

1/2 < 1; 1/3 < 1/2 ; 1/4 < 1/3; ...

Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente cuando;

an+1 ≤ an ; si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.
Ej.

SUCESIONES ACOTADAS
Sucesiones acotadas inferiormente
Si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, quellamaremos cota inferior de la
sucesión.
an ≥ k
A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo .
Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.
Toda sucesión acotada inferiormente es creciente.
Sucesiones acotadas superiormente
Si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K', que llamaremos cota superior de
la sucesión.an ≤ k'
A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.
Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.
Toda sucesión acotada superiormente es monótona decreciente.
Sucesiones acotadas
Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número k
menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K'mayor o igual que todos los términos de la
sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'.
k ≤ an ≤ K'
E j.
an = 1, 2, 3, 4, 5, ...n

cn = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n

Está acotada inferiormente
Cotas inferiores: 1, 0, -1, ...
El mínimo es 1.

Está acotada superiormente
Cotas superiores: 2, 3, 4, ...
El máximo es 2.
Está acotadainferiormente
Cotas inferiores: 1, 0, -1, ...
El ínfimo es 1.

No está acotada superiormente.
bn = -1, -2,-3, -4, -5, ... -n

dn = 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1)n-1 2n

Está acotada superiormente
Cotas superiores: -1, 0, 1, ...
El máximo es -1.
No está acotada inferiormente.

No está acotada.

LIMITE DE UNA SUCESION
Sucesiones convergentes: sus términos tienden a valores límite.
Ej. Lasucesión {1/2n}
1/2,1/4, 1/8, 1/6,1/32,…. Converge a 0
Definición de límite de una sucesión:
Sea L un número real. El límite de una sucesión {an} es L, escrito como:

Si para cada ἐ > 0, existe M>0 tal que |an-L| < ἐ siempre n>M. Si el limite L de una sucesión existe,
entonces converge a L. Si el límite de una sucesión no existe, entonces la sucesión diverge.
*Cuando los términos crecen sinlímite:

*Cuando los términos decrecen sin límite:

Teorema 1: Si

cuando n es un entero, entonces

PROPIEDADES DE LOS LIMITES DE SUCESIONES
Si {an} y {bn} son sucesiones convergentes y c es una constante entonces:

Teorema 2:

Teorema 3:

SERIES
Si trata de sumar términos de una sucesión infinita

, obtiene una expresión de la forma:

a1, +a2+a3+…+an+…
que se denomina serie...