series y sucesiones

ANALISIS MATEMATICO I
Ciclo Lectivo 2009
Guía de Estudio y Práctica 11

SUCESIONES Y SERIES
Ing. Jorge J. L. Ferrante
I

CONSOLIDACIÓN DE CONCEPTOS

Se inicia esta Guía de Estudio y Práctica con una mención especial a
Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci, autor de una de las más célebres
sucesiones –si no la más célebre- de múltiples aplicaciones e invalorable
aplicación para lainterpretación de distintas manifestaciones de la
naturaleza. La búsqueda de la información que se agrega se hizo a través de
Internet, en especial, la página El ubicuo Fibonacci, sección zapping de Axon
N° 231
Siglo XII. En 1170, los normandos atacan a los irlandeses en Baginbun
y los destrozan, mientras Gervasio de Canterbury y los astrónomos chinos
documentan un tránsito de Marte frente aJúpiter. El judío sefaradí
Benjamín de Tudela viaja por todo el mundo conocido para censar a los
judíos existentes, y llega a la conclusión de que 8 millones de ellos están
repartidos por el planeta. El Valle del Bekaá es devastado por un espantoso
terremoto de más de grado 7 en la Escala de Mercalli. Ricardo Corazón de
León, mientras tanto, reina en Inglaterra.
Entre tantos eventos importantes,un tal Bonaccio, residente en Pisa
(donde, según Benjamín, vivían 20 judíos) celebra el nacimiento de su hijo
Leonardo. Como era vástago de Bonaccio, casi nunca nadie conoció al niño
como Leonardo de Pisa, sino como "el hijo de Bonaccio", esto es, Fibonacci.
Bonaccio, por entonces director de una aduana italiana en Argelia,
necesita que su hijo sepa de números, por lo que obliga al chiquilloa estudiar
aritmética posicional hindú. Milagrosamente, Fibonacci descubrió en las
matemáticas el amor de su vida. Nunca más las abandonó.
El aporte de Fibonacci a la matemática es tan grande y tan profundo
que prácticamente no puede ser medido. Por la época en la que vivió, el
sistema de numeración arábigo era poco menos que una curiosidad: todo el

mundo usaba los números romanos. Y yase sabe lo difícil que es multiplicar
por no hablar de dividir con números romanos.
Fibonacci, recordando el curso de aritmética hindú aprendido de niño,
escribe, en 1202, su tratado Liber abaci ("El Libro del Ábaco") que es, ni
más ni menos, un tratado sobre el sistema numeral indoarábigo. En él
presenta al público y a los científicos europeos los signos hindúes (1, 2, 3...)
y el 0 árabe,donde dice que se llama "cero" (quod arabice zephirum
appellatur). Además, expone el método de regula falsi para ecuaciones de
primer grado. Nada menos que eso, algo insólito para un libro del siglo XIII
en una sociedad que no usaba el cero.
Nota del autor: resultaría injusto olvidar la mención de Alexandre de
Villedieu, Franciscano Francés y John de Hallifax, llamado Sacrobosco
quienes, juntoa Fibonacci merecen el crédito de haber popularizado el
“algorism” de la numeración indoarábiga. Carmen de Algorismo es un poema
de Alexandre de Villedieu donde las operaciones con enteros están
descriptas junto al uso del cero como número. Sacrobosco hace lo propio en
un tratado de astronomía llamado Algorismus Vulgaris utilizado
profusamente en la edad media.
Otro libro de Fibonacci, Dequadratis numeris (1225) es tan avanzado
que hubo que esperar a Fermat (en el siglo XVII) para superarlo
Las sucesiones de Fibonacci fueron bautizadas en honor del italiano
por el teórico francés Edouard Lucas.
Una sucesión de Fibonacci es aquella donde cada número es el
resultado de sumar los dos que lo preceden. Así, la primera y más básica
sucesión de Fibonacci es
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,21, 34, 55, 89, 144, 233...
respondiendo a la fórmula

an = an-1 + an-2
Según la historia esta sucesión surge al estudiar la … propagación de
conejos.

Lo interesante de las sucesiones de Fibonacci es que prácticamente
cualquiera (con la sola condición de que domine la aritmética básica) puede
investigarlas, descubrirles nuevas propiedades y desarrollar teoremas
propios, inéditos y...