Series y Sucesiones


Introducción

Las series son las sucesiones formadas mediante la suma de más y más términos de una sucesión. Un ejemplo común es el recorrido de un automovilista, cundo recorre varios kilómetros en una pendiente la velocidad va aumentando constantemente, esto es que a medida que aumenta la velocidad el motociclista desciende mas rápido, por medio de este ejemplo podemos citar la sucesión desuma ala cual se le denomina serie obtenida de la sucesión.
Tradicionalmente se refiere a ella como “la serie cuyo termino n-esimo es una variable infinita.
"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es la suma de una sucesión.
Sucesión: {1,2,3,4}
Serie: 1+2+3+4 = 10
Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa "súmalos todos":
Estosignifica "suma de 1 a 4" = 10
Esto significa "suma los cuatro primeros términos de la sucesión 2n+1"
Que son los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo {3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 = 24
Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.


Series y Sucesiones

1. Definición deSeries.
Es la sumatoria de una sucesión.
En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos:
Lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio:
El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, ymediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que (n) crece indefinidamente.

2. Tipos de Series.

Serie de Taylor
En matemáticas, una serie de Taylor es una aproximación de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para undeterminado valor o punto a suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie.
Una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:
Ejemplo 1:

Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de fen el punto a.
Esta aproximación tiene tres ventajas importantes:
la derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales;
se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones;
es posible calcular la optimidad de la aproximación.
Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienenalguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x 

Serie Armónica
La seria armónica es la serie infinita.


Se llama así porque la longitud de onda de los armónicos de una cuerda que vibra es proporcional a su longitud según la serie 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7...
La serie armónica es divergente, aunque diverge lentamente (losprimeros 1043 términos de la serie suman menos de 100). Esto se puede demostrar haciendo ver que la serie armónica es mayor, término por término, que esta otra serie:
Ejemplo:



Que está claro que diverge. (Esto es bastante riguroso ya que los mismos términos se agrupan de la misma manera). Esta prueba, dada por Nicolás Oresme, fue un gran paso para las matemáticas medievales.

Ejemplo 1:Serie geométrica
En matemática, una serie geométrica en una seria en la cual la razón entre los términos sucesivos de la serie permanece constante. Por ejemplo la serie:
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16+...
Es geométrica, pues cada término sucesivo se obtiene al multiplicar el anterior por 1/2.
Los términos de una serie geométrica forman una progresión geométrica, es...