Series y tranformadas de fourier

LECCIONES SOBRE LAS SERIES Y TRANSFORMADAS DE FOURIER
Javier Duoandikoetxea

UNAN-Managua, 2003

Presentaci´n o
Las series e integrales de Fourier constituyen un tema cl´sico del an´lisis a a matem´tico. Desde su aparici´n en el siglo XVIII en el estudio de las via o braciones de una cuerda, las series de Fourier han sido una piedra de toque para el desarrollo de los conceptos b´sicos delan´lisis –funci´n, integral, a a o serie, convergencia...–, y la evoluci´n de estos conceptos ha ido abriendo a o su vez nuevos rumbos en el an´lisis de Fourier. As´ lo expresa Zygmund en a ı el pr´logo de su famoso libro sobre series trigonom´tricas (1958): o e
Esta teor´ ha sido una fuente de nuevas ideas para los analisıa tas durante los dos ultimos siglos y probablemente lo ser´ en los ´ apr´ximos a˜os. Muchas nociones y resultados b´sicos de la teor´ o n a ıa de funciones han sido obtenidos por los matem´ticos trabajando a sobre series trigonom´tricas. Es concebible pensar que estos dese cubrimientos pod´ haber sido realizados en contextos diferentes, ıan pero de hecho nacieron en conexi´n con la teor´ de las series trigoo ıa nom´tricas. No fue accidental que la noci´n de funci´naceptada e o o ahora generalmente fuera formulada en la celebrada memoria de Dirichlet (1837) que trata de la convergencia de la serie de Fourier, o que la definici´n de integral de Riemann en su forma general o apareciese en el Habilitationsschrift de Riemann sobre series trigonom´tricas, o que la teor´ de conjuntos, uno de los desarrollos e ıa m´s importantes de las matem´ticas del siglo XIX, fueracreada a a por Cantor en su intento de resolver el problema de los conjuntos de unicidad para series trigonom´tricas. En ´pocas m´s recientes, e e a la integral de Lebesgue se desarroll´ en estrecha conexi´n con la o o teor´ de series de Fourier y la teor´ de funciones generalizadas ıa ıa (distribuciones) con la de las integrales de Fourier.

Las notas se dividen en dos grandes bloques: elprimero trata de series de Fourier y el segundo, de integrales de Fourier; en medio, un tema sobre espacios de Hilbert y sistemas ortogonales de funciones que da la estructura funcional abstracta en la que se pueden colocar las series de Fourier. i

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Presentaci´n o

Para la lectura de los temas relativos a series no se exige m´s integral a que la de Riemann, de modo que se pueden estudiartras haber seguido un curso de an´lisis de una variable, salvo en algunas de las aplicaciones. Sirven a adem´s para fijar los conceptos b´sicos del an´lisis, tan ligados al desarrollo a a a hist´rico de la teor´ Las series aparecen en senos y cosenos, a la manera o ıa. cl´sica, con s´lo algunas indicaciones sobre su versi´n compleja. a o o En la teor´ de la transformada de Fourier he cre´ convenientetrabajar ıa ıdo desde el principio con la integral de Lebesgue y, por supuesto, usar la forma compleja. En esto no parece haber duda entre los matem´ticos de hoy, a si nos atenemos a los libros. La integral de Lebesgue ahorra argumentos en las pruebas porque tiene acceso a resultados m´s potentes y, con todo, a m´s sencillos de aplicar (teorema de convergencia dominada y teorema de a Fubini, porejemplo). Las dificultades de definici´n de la transformada de o Fourier para funciones no integrables tambi´n exigen recursos de an´lisis no e a elemental, mejor adaptados a la integral de Lebesgue. En un ultimo cap´ ´ ıtulo se muestra la manera en que la transformada de Fourier se suele usar en el mundo real. La adaptaci´n al c´lculo num´rico o a e exige el uso de una versi´n discreta y last´cnicas involucradas son de tipo o e algebraico. Adem´s se ve c´mo el algoritmo de la transformada r´pida de a o a Fourier permite ahorrar c´lculos num´ricos en determinados casos. a e Termino el texto con tres ap´ndices. El primero repasa las series num´rie e cas y funcionales y conviene leerlo antes de estudiar las series de Fourier, para recordar conceptos que despu´s se usar´n. El segundo expone...