Series

1-SERIE Y SUCECIONES SUCECIONES
: Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto ordenSi la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,Si no es una sucesión finitaEjemplos{1, 2, 3, 4,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita){20, 25, 30, 35,...} también es una sucesión infinita{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primerosnúmeros impares (y es una sucesión infinita){4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás{1, 2, 4, 8, 16, 32,...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término{A, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en orden alfabético{0, 1, 0, 1, 0, 1,...} es la sucesión que alterna 0 y 1 (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)*En ordenCuando decimos que los términos están"en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando...¡o el que quieras!Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer muchas veces).*La reglaUna sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término. Y esto es una formula*NotaciónPara que sea más fácil escribir lasreglas, normalmente lo hacemos así:Es normal usar xn para los términos:‡xn es el término‡n es la posición de ese término Así que para hablar del "quinto término" sólo tienes que escribir: x5 o de otro termino como x6 x7 x81.1tipos de sucesiones*Sucesiones aritméticas

El ejemplo que acabamos de usar, {3, 5, 7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque la diferencia entreun términoy el siguiente es una constante.*Sucesiones geométricas
En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo.Sucesiones especiales
Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo.Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.
SERIES
: se representa a menudo comosuma de a secuencia de términos.
Es decir, una serie se representa como lista de números conadición operaciones entre ellos, por ejemplo éste secuencia aritmética:1 + 2 + 3 + 4 + 5 +« + 99 + 100
En la mayoría de los casos del interés los términos de la secuencia son producidos según cierta regla, por ejemplo por a fórmula, poralgoritmo, por una secuencia de medidas, o aún por a generador del númeroal azar.Una serie puede ser finita o infinita. La serie finita se puede manejar con elemental álgebra, solamente las series infinitas requieren lasherramientas de análisis matemático si se van a ser aplicados en cualquier cosa más que una manera tentativa
En realidad una serie es la suma de una sucesión.Sucesión: {1, 2, 3,4}Serie: 1+2+3+4 = 101.2 formula de la seriesLas series se suelen escribircon el símbolo

que significa "súmalos todos":

Esto significa "suma de 1 a 4" = 10 0
Esto significa "suma los cuatro primeros términos de la sucesión 2n+1" Que son los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo {3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 = 24


2 -Convergencia de series
A serie es convergente si la secuencia de sus sumas parciales converge.
En un lenguaje más formal, unaserie converge si existe a límitetales que para cualquier número positivo arbitrariamente pequeño , hay un grande número entero N tales que para todos ,Una secuencia que no es convergente reputa divergente.2.1convergente y divergentePara una secuencia de puntos en a espacio métrico M con la función de distancia d (por ejemplo una secuencia de números racionales,números verdaderos, números complejos,puntos en el espacio, etc.):Si decimos L es el límite de la secuencia y escriba
Es decir: si y solamente si para cada número verdadero, existe a número natural N tales que para cada, tenemosComo generalización de esto, para una secuencia de puntos en a espacio topológico T:Si decimos L es un límite de esta secuencia y escriba
Es decir: si y solamente si para cada vecindad S de L hay un número...