Series

MOISES VILLENA

Cap. 6 Series

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1.1 6.1. 6.2. 6.3. 6.4.

SERIES NUMÉRICAS INFINITAS SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS SERIES ALTERNANTES SERIES DE POTENCIAS

Objetivo: Se pretende que el estudiante: • Determine convergencia o divergencia de series. • Emplee series para resolver problemas numéricos.

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6. 1. SERIES NUMÉRICAS INFINITAS
6.1.1DEFINICIÓN

Sea {a n } una sucesión infinita. Y sea
S n = a1 + a 2 + a3 + L + a n .

La sucesión de suma parciales denotada como

{S n } = {S1 , S 2 , S3 ,L} = {a1 , a1 + a2 , a1 + a2 + a3,L },

∑a
n =1

∞

n

, se llama Serie Infinita.

Ejemplo
⎧ 1 ⎫ Sea la sucesión {a n } = ⎨ ⎬ ⎩2n ⎭ ⎧1 1 1 ⎫ Algunos términos de la sucesión serían ⎨ , , , L⎬ 2 4 8 ⎩ ⎭

La sucesión de sumasparciales sería

{S1 , S 2 , S 3 , L} = ⎧ 1 , 1 + 1 , 1 + 1 + 1 , L⎫ = ⎧ 1 , 3 , 7 , L⎫ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎩2 2 4 2 4 8 ⎭ ⎩2 4 8 ⎭

6.1.2 CONVERGENCIA DE SERIES

Una serie S n = ∑ an , es convergente si y sólo si lim S n
n →∞

existe. Caso contrario; es decir, si lim S n no existe, se
n →∞

dice que la sucesión es divergente.
En caso de que la serie sea convergente se dice que tiene suma S , es decirocurrirá que lim S n = S .
n →∞

Si tuviésemos S n o pudiéramos calcularlo, determinar la convergencia sería muy sencillo. Estudiaremos en primer lugar las series geométricas y las series

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telescópica que si se les puede determinar S n , y luego mencionaremos criterios para determinar convergencia y divergencia de series cuando ya no tenemos S n6.1.3

LA SERIE GEOMÉTRICA.

Una serie geométrica es de la forma

a + ar + ar 2 + ar 3 + L + ar n −1
La suma parcial de los n términos está dada por

Sn =

a (1 − r n ) . ¡Demuéstrela! 1− r a (1 − r n ) . n →∞ 1− r

Para determinar su convergencia, deberíamos obtener

lím S n = lím
n →∞

a(1 − r n ) = ∞ (¿POR QUÉ?) y por tanto la Observe que si r ≥ 1 entonces lím n →∞ 1− r
seriegeométrica es divergente

a(1 − r n ) a = Si r < 1 , entonces lím la serie es convergente. n →∞ 1− r 1− r
Ejemplo
Determinar si la serie SOLUCIÓN: Observe que la secuencia dada es una serie geométrica con a = serie de la forma
1 1 1 + + + es convergente o no. 2 4 8

1 1 y r = es decir una 2 2

∑
n =1

∞

1 y por tanto converge a S = 2 = 1 2n 1− 1 2

1

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6.1.4 SERIES TELESCÓPICA Para este tipo de serie también es posible obtener S n , se lo hace empleando fracciones parciales. Ejemplo
Sea la serie SOLUCIÓN: Empleando fracciones parciales, tenemos:
1 A B + n +1 n + 2 = A(n + 2 ) + B(n + 1) =

∑
n =1

∞

(n +1)(n + 2 ) . Obtener S n .

1

(n + 1)(n + 2)
1

Si n = −1 entonces:
1 = A(−1 + 2) + B(−1 + 1) 1= A

Si n =−2 entonces:
1 = A(−2 + 2) + B(−2 + 1) 1 = −B B = −1

Por tanto:

∑
n =1

∞

1 = (n + 1)(n + 2)

∑
n =1

∞

1 ⎞ ⎛ 1 − ⎜ ⎟ ⎝ n +1 n + 2 ⎠

Obteniendo algunos términos de su desarrollo

∑
n =1

∞

1 ⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎛ 1 − − ⎜ ⎟ = ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ +L+ ⎜ ⎟ ⎝ n +1 n + 2 ⎠ ⎝ 2 3 ⎠ ⎝ 3 4 ⎠ ⎝ 4 5 ⎠ ⎝ n +1 n + 2 ⎠

Note que al realizar la suma, los términoscentrales se suprimen quedando el primer y el último término. Entonces S n = 1 −
1 1 ⎞ ⎛ , por tanto lím S n = lím ⎜1 − ⎟ =1 n →∞ n →∞⎝ n+2 n+2⎠

La serie es convergente

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Ejercicios Propuestos 6.1
1.Encuentre la serie infinita que es la secuencia indicada de suma parcial. Si la serie es convergente, encuentre su suma. (SUGERENCIA: Hallar a n , sabiendo queS n = S n −1 + a n )

⎧1 ⎫ a) {S n } = ⎨ n ⎬ ⎩2 ⎭

b)

{S n } = {ln(2n + 1)}

2.Encuentre S n y determine si las series son convergentes o divergentes. Si es convergente determine su suma: a)

∑
n =1

+∞

1 n(n + 1)

b)

∑
n =1

+∞

n

⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠

c)

∑
n =1
+∞

+∞

1 (3n − 1)(3n + 2) 1 (n + 2)(n + 3)

d)

∑
n =1

+∞

4⎞ ⎛ 1 ⎜ n + n⎟ 3 ⎠ ⎝2

e)...