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ANALISIS MATEMATICO I Ciclo Lectivo 2009 Guía de Estudio y Práctica 11

SUCESIONES Y SERIES
Ing. Jorge J. L. Ferrante I CONSOLIDACIÓN DE CONCEPTOS

Se inicia esta Guía de Estudio y Práctica con una mención especial a Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci, autor de una de las más célebres sucesiones –si no la más célebre- de múltiples aplicaciones e invalorable aplicación para la interpretaciónde distintas manifestaciones de la naturaleza. La búsqueda de la información que se agrega se hizo a través de Internet, en especial, la página El ubicuo Fibonacci, sección zapping de Axon N° 231 Siglo XII. En 1170, los normandos atacan a los irlandeses en Baginbun y los destrozan, mientras Gervasio de Canterbury y los astrónomos chinos documentan un tránsito de Marte frente a Júpiter. El judíosefaradí Benjamín de Tudela viaja por todo el mundo conocido para censar a los judíos existentes, y llega a la conclusión de que 8 millones de ellos están repartidos por el planeta. El Valle del Bekaá es devastado por un espantoso terremoto de más de grado 7 en la Escala de Mercalli. Ricardo Corazón de León, mientras tanto, reina en Inglaterra. Entre tantos eventos importantes, un tal Bonaccio,residente en Pisa (donde, según Benjamín, vivían 20 judíos) celebra el nacimiento de su hijo Leonardo. Como era vástago de Bonaccio, casi nunca nadie conoció al niño como Leonardo de Pisa, sino como "el hijo de Bonaccio", esto es, Fibonacci. Bonaccio, por entonces director de una aduana italiana en Argelia, necesita que su hijo sepa de números, por lo que obliga al chiquillo a estudiar aritméticaposicional hindú. Milagrosamente, Fibonacci descubrió en las matemáticas el amor de su vida. Nunca más las abandonó. El aporte de Fibonacci a la matemática es tan grande y tan profundo que prácticamente no puede ser medido. Por la época en la que vivió, el sistema de numeración arábigo era poco menos que una curiosidad: todo el

mundo usaba los números romanos. Y ya se sabe lo difícil que esmultiplicar por no hablar de dividir con números romanos. Fibonacci, recordando el curso de aritmética hindú aprendido de niño, escribe, en 1202, su tratado Liber abaci ("El Libro del Ábaco") que es, ni más ni menos, un tratado sobre el sistema numeral indoarábigo. En él presenta al público y a los científicos europeos los signos hindúes (1, 2, 3...) y el 0 árabe, donde dice que se llama "cero" (quodarabice zephirum appellatur). Además, expone el método de regula falsi para ecuaciones de primer grado. Nada menos que eso, algo insólito para un libro del siglo XIII en una sociedad que no usaba el cero. Nota del autor: resultaría injusto olvidar la mención de Alexandre de Villedieu, Franciscano Francés y John de Hallifax, llamado Sacrobosco quienes, junto a Fibonacci merecen el crédito de haberpopularizado el “algorism” de la numeración indoarábiga. Carmen de Algorismo es un poema de Alexandre de Villedieu donde las operaciones con enteros están descriptas junto al uso del cero como número. Sacrobosco hace lo propio en un tratado de astronomía llamado Algorismus Vulgaris utilizado profusamente en la edad media. Otro libro de Fibonacci, De quadratis numeris (1225) es tan avanzado que huboque esperar a Fermat (en el siglo XVII) para superarlo Las sucesiones de Fibonacci fueron bautizadas en honor del italiano por el teórico francés Edouard Lucas. Una sucesión de Fibonacci es aquella donde cada número es el resultado de sumar los dos que lo preceden. Así, la primera y más básica sucesión de Fibonacci es 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... respondiendo a la fórmulaan = an-1 + an-2
Según la historia esta sucesión surge al estudiar la … propagación de conejos.

Lo interesante de las sucesiones de Fibonacci es que prácticamente cualquiera (con la sola condición de que domine la aritmética básica) puede investigarlas, descubrirles nuevas propiedades y desarrollar teoremas propios, inéditos y curiosísimos sobre ellas. Parecen existir infinitos teoremas de...