Series

Capítulo 5
Series numéricas

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Módulo 26 Sucesiones de números reales Módulo 27 Series de términos constantes Módulo 28 Criterios de convergencia y divergencia de series Módulo 29 Convergencia absoluta y convergencia condicional Ejercicios Módulos 26 al 29 Hasta ahora hemos desarrollado los cuatro conceptos fundamentales del cálculo: límite, continuidad, derivada e integral, y los tresúltimos en términos del primero; y como se nota en el mapa conceptual, aparece la palabra límite en el óvalo central con los tres conceptos restantes emanando de él. De todos los temas que conforman los cursos de cálculo sólo nos resta desplazarnos hacia la izquierda en el mapa conceptual y considerar las series infinitas como límites de sucesiones. De hecho, las series infinitas tienen multitud deaplicaciones en la ingeniería (como por ejemplo en el diseño y construcción de equipos musicales en lo concerniente a la armonía musical) y en otras áreas tradicionales de la investigación científica, como la holografía, la tomografía y la espectroscopia. En este capítulo desarrollaremos las herramientas básicas que proporcionan los criterios para series numéricas en lo referente a la convergencia ycon ello se podrá calcular la suma de un número infinito de términos, dejando para el próximo capítulo las series de potencias, las cuales permiten aproximar por medio de polinomios muchas funciones de gran importancia en la física y en la ingeniería.

Las armonías musicales se corresponden con relaciones entre números naturales. La relación ½ produce el armónico, que es el doble de lafrecuencia fundamental (tono o paso más bajo que se oye al pulsar una cuerda).

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Sucesiones de números reales
Contenidos del módulo
26.1 26.2 26.3 26.4 Definición y ejemplos de sucesiones de números reales Gráfica de una sucesión Límite de sucesiones Clasificación de las sucesiones

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Leonardo de Pisa Leonardo de Pisa (o Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo) nació en la ciudad italiana dePisa y vivió entre 1170 y 1250. También llamado Fibonacci, fue un matemático famoso por la invención de la «sucesión de Fibonacci», surgida como consecuencia del estudio del crecimiento de las poblaciones de conejos, y por su papel en la introducción a Europa del sistema de numeración posicional en base 10. El apodo de Guglielmo, padre de Leonardo, era Bonacci , que significa simple o bienintencionado. Leonardo recibió póstumamente el apodo de Fibonacci (de filius Bonacci, es decir, hijo de Bonacci). Guiglielmo dirigía un puesto de comercio en Bugía, en el norte de África, y de niño Leonardo viajó a esa ciudad para ayudarlo. Allí aprendió el sistema de numeración árabe. Consciente de la superioridad de esta numeración, Fibonacci viajó a través de los países del Mediterráneo para estudiarcon los matemáticos árabes más destacados de ese tiempo y regresó cerca del año 1200. En 1202, a los 27 años de edad, publicó en Liber abaci («Libro del ábaco» o «Libro de los cálculos») lo que había aprendido. Este libro mostró la importancia del nuevo sistema de numeración en la contabilidad comercial, la conversión de pesos y medidas, el cálculo, los intereses, el cambio de moneda, entre otrasnumerosas aplicaciones. En sus páginas describe el cero, la numeración de posición, la descomposición en factores primos y los criterios de divisibilidad. El libro fue recibido con entusiasmo en la Europa ilustrada y tuvo un impacto profundo en el pensamiento matemático europeo. En matemáticas, la «sucesión de Fibonacci» es una serie de números enteros que se obtiene mediante la siguiente funciónrecursiva:

Objetivos del módulo
1. Presentar las sucesiones de números reales, su clasificación y el cálculo de límites de sucesiones. 2. Relacionar el límite de una función con el límite de una sucesión.

Preguntas básicas
Definamos un =
(1 + 5) n − (1 − 5) n 2n 5

al n-ésimo término de una sucesión.

1. Demuestre que u1 = 1 y u2 = 1. 2. Demuestre que un + 2 = un +1 + un . 3. De 1 y...