Series

Cap´ ıtulo 1

Series Num´ricas e
Las series num´ricas son sucesiones muy particulares ya que se definen (o se generan) a e partir de otra sucesi´n. Dos ejemplos sencillos aparecen en la definici´n de e y el la “Paradoja o o de Zen´n”. o Una forma de definir e es a trav´s de la suma:1 e 1 1 1 1 1 1 + + + + + ··· + = 0! 1! 2! 3! 4! n! cuyo l´ ımite es e, es decir:
+∞ n=0 n i=0

1 , i!

1 =e .n!

Sin entrar en pormenores sobre la historia de la tortuga y su particular caminata, en ella aprece una suma de reales en la que cada sumando es la mitad del anterior:2 1 1 1 1 1 + 1 + 2 + 3 + ··· + n = 0 2 2 2 2 2 cuyo l´ ımite es 2, o sea:
+∞ n=0 n i=0

1 2i

,

1 =2 . 2n

Como veremos m´s adelante, si bien fue presentado sin rigor, se trata de un par de ejemplos a de seriesconvergentes, para percibir la diferencia veamos el siguiente ejemplo:
n

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + · · · + 2 =
i=0

n

2i .

En caso de calcular el l´ ımite de esa suma, es notorio que es infinito.
1 2

Recuerde que 0! = 1. Recuerde que k0 = 1.

Es decir:
n→+∞

n

l´ ım

2i = +∞ .
i=0

1.1.

Definiciones y conceptos

Definici´n 1.1 Sea (an )n∈N una sucesi´n real. Definimos unanueva sucesi´n (An )n∈N , a la o o o que le llamamos serie generada o engendrada por la sucesi´n (an ), a la siguiente: o A0 = a0 A1 = a0 + a1 A2 = a0 + a1 + a2 . . . An = a0 + a1 + a2 + · · · + an = Usaremos la notaci´n o

n i=0

ai

A An se le llama suma parcial de la serie o tambi´n reducida en´sima de la serie. e e an para referirnos a la serie generada por (an ).
1 n! n i=0

Ejemplo1.2 La sucesi´n dada por an = o

genera (An ) : An =

1 i! .

Esta sucesi´n es o

conocida por nosotros (es decir, esta serie) y su l´ ımite es el n´mero e . u Ejemplo 1.3 La sucesi´n dada por an = o Ejemplo 1.4 an = (−1)n genera An =
n 1 n 3

genera An =

n i=0

1 i 3

=

1− 1 3 1− 1 3

n+1

.Su l´ ımite es 3 . 2

(−1)i = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − · · · + (−1)n . Por lo que,i=0  • Si n = 2, tenemos que An = 1, es decir, A2i = 1  ⇒ • Si n = 2, tenemos que An = 0, es decir, A2i+1 = 0  ⇒ (An ) no tiene l´ ımite.
n

Ejemplo 1.5 Consideremos la sucesi´n de los n´meros naturales, es decir (an ) = (1, 2, 3, 4, ...). o u Dicha sucesi´n genera la An = 1 + 2 + 3 + · · · + n = o Claramente, l´ An = l´ n(n+1) = +∞. ım ım 2 i=
i=1 n(n+1) . 2

Como hemos podido observar,estas sucesiones tan particulares (a las que convenimos en llamar series) puden tener l´ ımite o no. Si bien ya est´n definidos estos conceptos, al tratarse a de un tipo de sucesiones con aplicaciones y usos particulares e importantes, daremos algunas definiciones al respecto. Definici´n 1.6 Sea o an una serie, decimos que: an C ) ⇔ l´ An = k ∈ R ım

an converge ( notaci´n: o

En este caso decimosque la serie

an converge con suma k y escribimos que3

+∞ n=0

an = k.

an diverge ( notaci´n: o

  l´ An = +∞  ım an D ) ⇔ . ´ o   l´ An = −∞ ım an diverge a m´s o menos infinito (seg´n correspona u

En este caso decimos que la serie da). an oscila ( notaci´n: o

an OSC) ⇔no existe l´ An . ım

o Observaci´n 1.7 N´tese que el comportamiento de una serie no se modifica si notenemos o en cuenta a los primeros p t´rminos de la sucesi´n que la genera. Lo que s´ se modifica es, en e o ı caso de convergencia, su suma. Observaci´n 1.8 En aquellos ejercicios que se pide “clasificar una serie” debemos determinar o si la misma converge, diverge u oscila. Ejemplo 1.9 Consideremos la serie gencia encontrar su suma. Como
p n=1 1 n(n+1) 1 n(n+1) .

Intentaremos clasificarla y encaso de conver-

=

1 n

−
1 2

1 n+1

, las sumas parciales de la serie son de la forma:
1 2

1 n(n+1)

= 1−

+ 1−

+ 1−

1 2

+ ··· +

1 p

−

1 p+1

=1−

Por lo tanto De donde,
1 2n

1 n(n+1)

es una serie convergente y su suma es 1, es decir,

1 −→ p+1 p→+∞ +∞ n=1

1
1 n(n+1)

= 1.

C y suma es 2.

Los ejemplos 1.3 y 1.9 son casos particulares...