Series

Cálculo

Tema I: Series
Una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita.
Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a1 + a2 + a3 + · · lo cual suele
escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio:
.
El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de
términos sucesivos, y mediante unpasaje al límite identificar el comportamiento de la
serie a medida que n crece indefinidamente.
De una serie será de interés obtener, si se puede, el valor de la suma. Para ello, primero
necesitamos saber si una serie es convergente o divergente.
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Serie convergente: Una serie es convergente si su suma es finita. No obstante, el
hecho de que una serie sea convergente no significa quese puede obtener su suma.
Solo se sabe que la suma es finita.
Serie divergente: Una serie es divergente si su suma tiende al infinito.

Para saber si una serie es convergente o divergente, existen los llamados criterios de
convergencia.

Criterio de convergencia
Una cuestión importante antes de pasar a los criterios de convergencia, es tener en cuenta
que la convergencia no depende delnúmero de términos que se sumen. Una serie
convergente seguirá siendo convergente si se quitan 1, 2 o incluso n términos de dicha
serie. Lo mismo será cierto para la divergencia.
Además, la suma de series convergentes será una serie convergente. Pero solo si una de las
series es divergente, la serie general será divergente. En general, se cumplirá

Los principales criterios de convergencia son:Condición necesaria de divergencia
Si una serie diverge es condición necesaria que se cumpla:

No obstante, el opuesto del teorema no es cierto. Si el límite de la sucesión es 0, no
significa que la serie sea convergente.

Alberto Carlos Fernández Espinar - 635680193

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Convergencia de series geométricas
Una serie geométrica es aquella de la forma:

Las seriesgeométricas tienen un criterio de convergencia sencillo. Se cumple que:

Además, de una serie geométrica sí que podemos obtener su suma, en caso de
convergencia. Una serie geométrica convergente tiene suma:

Series telescópicas
Las series telescópicas son aquellas en las que un término de la serie se anula con el
siguiente. Es decir, es de la forma

Una serie telescópica converge si el límitesu suma enésima tiende a un número, y además
dicho número será el valor de la suma. Es decir:

El cálculo de la suma enésima de una serie telescópica es relativamente sencillo. Basta con
ir escribiendo las 4 o 5 primeras sumas e ir viendo cómo se van anulando los términos.
Criterio integral
El criterio integral, por sus restricciones, no será usado demasiado. No obstante, existen
unos tiposde series donde resulta muy útil. El criterio integral de convergencia dice que, si
se cumple lo siguiente:

Si estas tres condiciones se cumplen (En general, hay que prestar atención a las dos
primeras, la tercera es un poco trivial), entonces se cumplirá que:

Como vemos, dicho criterio lleva a realizar una integral impropia, que no siempre es algo
sencillo. Además, este criterio no sirvepara determinar la suma en ningún caso.

Alberto Carlos Fernández Espinar - 635680193

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Convergencia de p-series
Una p-serie es de la forma:

La convergencia de las p-series es sencilla de obtener también. Dicho criterio dice que la
serie:

Este criterio no permite la obtención de la suma en ningún caso.
Criterio de Pringsheim
El criterio de Pringsheim es muy útilcuando tenemos un cociente de polinomios. El
criterio dice que si el siguiente límite es finito y no nulo:

La serie entonces:

Este criterio no permite la obtención de la suma en ningún caso.
Criterio de series alternadas
Una serie alternada es aquella cuyos términos alternan en signos. En general, tienen la
forma:

Para este tipo de series, existen dos criterios de convergencia...