Series

Cap´ıtulo 1

Series Num´
ericas
Las series num´ericas son sucesiones muy particulares ya que se definen (o se generan) a
partir de otra sucesi´on. Dos ejemplos sencillos aparecen en la definici´on de e y el la “Paradoja
de Zen´on”.
Una forma de definir e es a trav´es de la suma:1
1
1
1
1
1
1
+ + + + + ··· +
=
0! 1! 2! 3! 4!
n!

n
i=0

1
,
i!

cuyo l´ımite es e, es decir:
+∞
n=0

1
=e .
n!

Sinentrar en pormenores sobre la historia de la tortuga y su particular caminata, en ella
aprece una suma de reales en la que cada sumando es la mitad del anterior:2
1
1
1
1
1
+ 1 + 2 + 3 + ··· + n =
0
2
2
2
2
2

n
i=0

1
2i

,

cuyo l´ımite es 2, o sea:
+∞
n=0

1
=2 .
2n

Como veremos m´as adelante, si bien fue presentado sin rigor, se trata de un par de ejemplos
de series convergentes, para percibirla diferencia veamos el siguiente ejemplo:
n
n

2i .

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + · · · + 2 =
i=0

En caso de calcular el l´ımite de esa suma, es notorio que es infinito.
1
2

Recuerde que 0! = 1.
Recuerde que k0 = 1.

Es decir:

n

2i = +∞ .

l´ım

n→+∞

1.1.

i=0

Definiciones y conceptos

Definici´
on 1.1 Sea (an )n∈N una sucesi´
on real. Definimos una nueva sucesi´
on (An )n∈N , a la
que lellamamos serie generada o engendrada por la sucesi´
on (an ), a la siguiente:
A0 = a0
A1 = a0 + a1
A2 = a0 + a1 + a2
..
.
An = a0 + a1 + a2 + · · · + an =

n
i=0

ai

A An se le llama suma parcial de la serie o tambi´en reducida en´esima de la serie.
Usaremos la notaci´
on

an para referirnos a la serie generada por (an ).
1
n!

Ejemplo 1.2 La sucesi´
on dada por an =

genera (An ) : An =

n
i=0

1i! .

Esta sucesi´
on es

conocida por nosotros (es decir, esta serie) y su l´ımite es el n´
umero e .
Ejemplo 1.3 La sucesi´
on dada por an =

1 n
3

genera An =

n
i=0

1 i
3

n+1

=

1− 13
1− 13

.Su l´ımite es 32 .

n

(−1)i = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − · · · + (−1)n . Por lo que,
i=0

•
Si n = 2, tenemos que An = 1, es decir, A2i = 1 
⇒
•
Si n = 2, tenemos que An = 0, es decir, A2i+1 = 0 
⇒ (An )no tiene l´ımite.

Ejemplo 1.4 an = (−1)n genera An =

Ejemplo 1.5 Consideremos la sucesi´
on de los n´
umeros naturales, es decir (an ) = (1, 2, 3, 4, ...).
Dicha sucesi´
on genera la An = 1 + 2 + 3 + · · · + n =
Claramente, l´ım An = l´ım n(n+1)
= +∞.
2

n

i=1

i=

n(n+1)
.
2

Como hemos podido observar, estas sucesiones tan particulares (a las que convenimos en
llamar series) puden tenerl´ımite o no. Si bien ya est´an definidos estos conceptos, al tratarse
de un tipo de sucesiones con aplicaciones y usos particulares e importantes, daremos algunas
definiciones al respecto.
Definici´
on 1.6 Sea

an una serie, decimos que:

an converge ( notaci´
on:

an C ) ⇔ l´ım An = k ∈ R

En este caso decimos que la serie

an converge con suma k y escribimos que3

+∞
n=0

an = k.



 l´ım An = +∞an D ) ⇔
.
´
o


l´ım An = −∞

an diverge ( notaci´
on:

En este caso decimos que la serie

an diverge a m´
as o menos infinito (seg´
un correspon-

da).
an oscila ( notaci´
on:

an OSC) ⇔no existe l´ım An .

otese que el comportamiento de una serie no se modifica si no tenemos
Observaci´
on 1.7 N´
en cuenta a los primeros p t´erminos de la sucesi´
on que la genera. Lo que s´ı se modifica es,en
caso de convergencia, su suma.
Observaci´
on 1.8 En aquellos ejercicios que se pide “clasificar una serie” debemos determinar
si la misma converge, diverge u oscila.
Ejemplo 1.9 Consideremos la serie

1
n(n+1) .

Intentaremos clasificarla y en caso de conver-

gencia encontrar su suma.
Como
p
n=1

1
n(n+1)

1
n(n+1)

=

1
n

= 1−

1
n+1

1
2

+ 1−

1
n(n+1)

Por lo tanto
De donde,

−

1
2n

, lassumas parciales de la serie son de la forma:
1
2

+ 1−

1
2

+ ··· +

1
p

−

1
p+1

=1−

1
−→
p+1 p→+∞
+∞

es una serie convergente y su suma es 1, es decir,

n=1

1
1
n(n+1)

= 1.

C y suma es 2.

Los ejemplos 1.3 y 1.9 son casos particulares de unas clases de series que son las geom´etricas
y las telesc´opicas. A continuaci´on definiremos cada una de ellas y las clasificaremos.
Definici´...