Series

Capítulo 4. Series.

Como antecedente a este tema es necesario definir lo que es una sucesión.

Una sucesión es una colección infinita de números reales escritos en un orden específico. De manera formal se define como sucesión a cualquier función cuyo dominio es el de números enteros a partir de un cierto [pic], que con frecuencia asume el valor de 0 o de 1.
Por ejemplo la función [pic] con[pic] define la sucesión [pic], donde se dice que [pic]es el primer término, [pic]es el segundo término, [pic] es el tercer término y así sucesivamente. A la expresión [pic] se le denomina término general, porque permite evaluar todos los términos.

Es usual expresar una sucesión en forma de conjunto, como en el caso de la sucesión [pic] , para [pic], esta puede escribirse como [pic]y la listade sus términos es [pic].

Cuando [pic] se hace cada vez más grande, los términos de la sucesión toman valores que se acercan a cero y cuando esto ocurre se dice que la sucesión converge a cero, lo que se expresa con un límite

[pic].

En general se dice que la sucesión converge a un valor [pic], es decir [pic], si puede hacerse que [pic] esté tan cerca de [pic] sin más que tomar a [pic]suficientemente grande.

Debe considerarse que para determinar este límite, [pic] solo toma valores enteros, mientras que en la definición de límite conocida, la variable [pic] toma cualquier valor, entero, racional o irracional.
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Al decir que [pic] esté tan cerca de [pic] como se desee, arbitrariamente próximo, se piensa en que de acuerdo a la definición de límite, existe un número real muynúmero pequeño [pic] y que debe ser posible que [pic] esté a una distancia [pic] menor que [pic], haciendo a [pic] suficientemente grande. Esto se expresa de la siguiente manera [pic] que equivale a [pic] que permite establecer que [pic]. La última expresión conduce a la siguiente definición.
La sucesión [pic] converge a [pic] si y solo si, dado cualquier número [pic], por pequeño que sea, existe unentero [pic] tal que [pic], para [pic] y en este caso se dice que la sucesión es convergente. Si no existe tal número [pic] entonces la sucesión es divergente.

La mayoría de las reglas aplicadas para el cálculo de límites de funciones de una variable se aplican para sucesiones, bajo las siguientes condiciones.

Si las sucesiones [pic] y [pic] son convergentes, entonces son ciertos lossiguientes límites.

1. [pic]


2. [pic]


3. [pic]

Se dice que una sucesión es creciente si [pic] y es decreciente si [pic], finalmente, si una sucesión es creciente o decreciente se denomina monótona. En todos los casos de sucesiones monótonas debe verificarse que [pic]para todo [pic] cuando la sucesión es creciente o bien [pic] cuando la sucesión es decreciente.

Cuando lasucesión es creciente a partir de un valor determinado se dice que la sucesión está acotada y la definición es la siguiente: Una sucesión [pic] es acotada si existe un número [pic], llamado cota, tal que [pic] para todo [pic].

Debe hacerse énfasis en que una cota no significa lo mismo que un límite, aunque ambos valores pueden coincidir. El límite de una sucesión convergente es el valor al que sustérminos se aproximan cuando [pic], mientras que una cota es cualquier número mayor o igual que los valores absolutos de todos los términos. Una sucesión dada puede admitir varias cotas ya que, por ejemplo, si [pic] para todo [pic], también puede decirse que [pic]. Por el contrario, una sucesión solo puede tener un límite, o ninguno si es divergente.

Si un conjunto de números reales, no vacío,admite una cota inferior, entonces tiene una cota inferior máxima y si admite una cota superior, entonces tiene una cota superior mínima.

A partir del conocimiento de las sucesiones, procedemos a desarrollar los temas de esta unidad sobre series.

4.1 Definición de serie.

Se define como serie a la suma de una sucesión de términos.

Ejemplo 4.1
La sucesión de términos [pic] puede...