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Ecuación de Kepler

Diagrama que permite demostrar la ecuación de Kepler y por tanto calcular la posición de un planeta en su órbita en un instante t cualquiera.La elipse es la órbita del planeta, con la estrella ocupando el foco F. El objetivo es calcular el tiempo que necesita el planeta para moverse desde el perihelio (para el Sol en general periapsis) P a un punto dado S . La circunferenciaprincipal es la circunferencia auxiliar de radio a que usaremos para demostrar la ecuación de Kepler.

Kepler descubrió las leyes que rigen el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Los planetas giran en una órbita elíptica, uno de cuyos focos F lo ocupa el Sol, pero no lo hacen con un movimiento uniforme, sino según la ley de las áreas barriendo el radio vector Sol-Planeta áreas igualesen tiempos iguales. El plasmado matemático de esta ley es la Ecuación de Kepler:

donde M es la anomalía media o ángulo que recorrería un planeta ficticio que se moviese con movimiento uniforme por la circunferencia principal, e es la excentricidad de la elipse situada entre 0<=e<1 y E es la anomalía excéntrica que es la incógnita que nos permitirá resolver el problema.Contenido [ocultar]
1Movimiento medio
2 Demostración de la Ecuación de Kepler
3 Métodos de resolución de la Ecuación de Kepler
3.1 Método gráfico
3.2 Método de las aproximaciones sucesivas
3.3 Método de Newton
4 Movimiento elíptico
5 Nota final

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Movimiento medio

Supongamos que el planeta da una vuelta al Sol en un tiempo denominado periodo T.

El movimiento medio n es el ángulo girado en la unidad detiempo suponiendo movimiento uniforme n=360/T en grados/día si el periodo se expresa en días. Usando la 3a ley de Kepler
resulta:
en radianes/día siendo a el semieje mayor de la órbita.

Se obtiene n en radianes/día o en º/día si a se expresa en UA mediante:

donde k es la constante de Gauss, o el movimiento medio diario de la Tierra cuyo valor es 0,01720209895 radianes/día ó 0,9856076686grados/día.

Si t0 es el instante de paso por el perihelio P, la anomalía media en un instante t es:

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Demostración de la Ecuación de Kepler

El semieje mayor de la órbita es a, y el semieje menor es b. La excentricidad de la órbita es e, y la estrella ocupa uno de los focos F, a una distancia c = ae del centro C de la elipse. El planeta está en el perihelio en P en momento t = 0 o más en general enel momento t0 . Pretendemos encontrar el tiempo T = t − t0 que tarda el planeta en alcanzar S.

La circunferencia principal tiene una relación de afinidad entre sus ordenadas y las ordenadas de la elipse pues son más grandes en un factor a / b . Para cualquier punto dado S de la elipse puede trazarse al punto correspondiente punto R en la circunferencia principal. El ángulo PCR es la anomalíaexcéntrica (el ángulo E) mientras que el ángulo PFS es la anomalía verdadera

Sabemos que por la segunda ley de Kepler las áreas barridas por el radio vector del planeta en tiempos iguales son iguales. El área PFR es la homóloga del área PFS barrida por el planeta:

Sabemos que, en el tiempo del periodo orbital τ, el planeta barre el área entera de la elipse πab. Por ello en un tiempo T / τ el áreabarrida será:

y sustituyendo esta expresión en la anterior:

Pero el área PFR es la resta de las áreas PCR y FCR:

El área PCR es el sector circular cuyo ángulo central es E . Como el círculo tiene un área total πa2 y la fracción es E / 2π, tenemos:

Mientras que el área FCR es un triángulo cuya base es la semi-distancia focal FC de longitud c = ae, y cuya altura es :

Por lo que:

Dividiendo por a2/ 2:

Pero es el movimiento medio y si multiplicamos por T obtenemos la anomalía media lo que nos da la ecuación de Kepler:

Nota: Para entender la importancia de esta fórmula, considere que es una fórmula análoga que da el ángulo θ girado en un movimiento circular y uniforme (velocidad angular constante) n:

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Métodos de resolución de la Ecuación de Kepler

Para un tiempo t dado, M...