Servosistemas

Diseño de servosistemas

Este método se basa en la ubicaión de polos para el diseño de servosistemas del tipo 1. Este tipo de sistema tiene un integrador en la trayectoria directa y el sistema no presenta error en estado estacionario. Servosistema de tipo 1 cuando la planta tiene un integrador Considere una planta definida por.

Considere una planta definida por.

 x  Ax  Bu y  Cx Du
Donde: x = vector de estado de la planta (n×1) y = señal de salida (escalar) u = señal de control (escalar) A = matriz de estado (n×n) B = matriz de entrada (n×1) C = matriz de salida (1×n)

Se considera que la señal de entrada u y la señal de salida y son escalares.

Haciendo una selección adecuada de las variables de estado es posible seleccionar la salida igual a una de las variables deestado. En este caso seleccionaremos la salida y igual al estado x1.

donde

yt   x1
K  0 k 2 k3  k n 
 x1  x   k n   2   k1 r  x1     xn 

de tal manera

u  0 k 2

k3

  Kx  k1r
donde
K  k1

k2  kn 

Supóngase que la entrada de referencia (función escalón) se aplica en t=0. Así la dinámica del sistema se puede describir mediante lasiguiente ecuación: Sustituyendo

u   Kx  k1r

 x  A x  B u   A  BK x  Bk1 r
La ecuación de la salida no sufre cambios.

y  Cx

Se diseñará el servosistema de tipo 1 de modo que los polos en lazo cerrado se localicen en las posiciones deseadas. El sistema diseñado será un sistema asintóticamente estable, y() tenderá al valor constante r y u() tenderá a cero. (r es una entradaescalón).

Como r(t) es una entrada escalón, se tiene r() = r(t) = r (constante) para t > 0. Restando las dos ecuaciones

  xt   x   A  BK xt   x
Se define

xt   x  et 

Entonces , la ecuación se convierte en

 e   A  BK e
Esta ecuación describe la dinámica del error

El diseño del servosistema tipo 1, se convierte en el diseño de un sistema reguladorasintóticamente estable tal que e(t) tiende a cero, para cualquier condición inicial e(0). Si el sistema definido por la ecuación de estado tiene estado completamente controlable, entonces al especificar los valores propios para la matriz A-BK la matriz K se puede determinar por la técnica de ubicación de polos. Los valores x(t) y u(t) en estado estacionario se pueden determinar del siguientemodo:

 x   A  BK x  Bk1r  0

Como todos los valores propios deseados de A-BK están en el semiplano izquierdo del plano s, la matriz A-BK tiene inversa.

   A  BK 1 Bk1r x
u   Kx  k1r  0

Ejemplo 1:
Considere el siguiente sistema de control del tipo 1

Y s  1  U s  ss  1s  2
Se desea diseñar un servosistema tipo 1 tal que los polos de lazocerrado estén en

s1  2  j 2 3

s2  2  j 2 3

s3  10

Se supone que la entrada de referencia r es una función escalón.

  3  2 y  u  y y   3  2 y  u  y y
Las variables de estado se definen como sigue:

x1  y

 x2  x1

 x3  x2

 y x3    3x3  2 x2  u

La representación del sistema en el espacio de estado es

  x1  0 1 0   x1  0   x 2   0 0 1   x 2   0  u        x3  0  2  3  x3  1       

 x1  y  1 0 0 x2     x3   

La señal de control u esta dada por

u  0 k 2

 x1  k 3  x2   k1 r  x1     x3   

u  k2 x2  k3 x3   k1 r  x1    Kx  k1r
Donde

K  k1 k2

k3 

Se determinará la matriz K de ganancia de retroalimentación de estadopor el método de ubicación de polos. 1. Verificar que el sistema sea de estado completamente controlable

 B AB  A B
2

0  0   0  0 1 AB  0 0 1  0    1       0  2  3 1  3     

1  0   1  0 0 A 2 B  0  2  3 0   3      0 6 7  1  7      



1 0 0   B  AB  A2 B  0 1  3 1  3 7   



El...