Sesio 3 Mate III 2015 II

MATEMÁTICA III
Ingeniería Civil
Ms. Marilyn Delgado Bernuí

Ms. Marilyn Delgado Bernui.

ED exactas
La ecuación de la forma M ( x , y )dx  N ( x , y )dy 0
tiene de la forma de una diferencialexacta du(x,y) = 0
y por consiguiente la solución: u(x,y) = c
M ( x , y ) N ( x , y )

si cumple la condición de Euler:
y
x
 
u( x , y )
u( x , y )
M ( x, y ) 
, N( x, y ) 
En tal caso
x
y

yla función u(x,y) se puede obtener integrando M
respecto a x: u( x , y ) M ( x , y )dx  c( y )
 y se puede determinar c(y) derivando
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(cu(xy),y
1
)(xd222x(xu(3y)yd
,xy1x)2
c1c
3'(((y)xd)y
0y231y)2dx3c(y)

ED exactas

Ejemplo: La siguiente ED
Es exacta puesto que

Integrando respecto a x
Es decir,
Derivando respecto a y

De donde
Finalmente la solucióngeneral es
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ED Lineales de 1er orden
Las ED de la forma

dy
 p( x ) y q x 
dx

Se denominan ED Lineales, ya que su solución cumple
con el Principio de Superposiciónrespecto al término
independiente q(x).
Se resuelven usando variación de la constante c de la
solución para el caso Homogéneo (q(x)=0), es decir,
  p ( x ) dx
y( x ) c( x )e
donde

c( x ) q( x )e p( x )dx

dx  c1

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

vv(t)
d
(ctv)
1R1CR
1
veV
(C
t
)(
(st1
tR)1C
)dtc

V
s
R
C
te
1R
cCtd(RCt)e1RC

ED Lineales de 1er orden
Ejemplo: La ecuación del circuitoRC serie

Es una ED lineal de primer orden, por lo tanto, su
solución es
Donde

Si Vs(t)=1, se obtiene:
Por lo tanto

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FACTOR DE INTEGRACION
 

Si la ecuación
 
M(x,y)dx +N(x,y)dy =0
 
No es exacta, pero la ecuación
 

(1)

(x,y)M(x,y)dx + (x,y)N(x,y)dy =0
 
que resulta de multiplicar la ecuación (1) por la función (x,y) es exacta,
entonces (x,y) se llama factorintegrante de la ecuación (1).
 

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• Por ello existe dos maneras de construir el factor integrante:

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EJEMPLOS
Resuelva ydx + (3 + 3x -...