Sesion 9 EDO lineal de segundo orden

SEMESTRE ACADÉMICO
2015-I

MATEMÁTICA
II

EDO lineal de
segundo orden
“Firmes en nuestro compromiso de alcanzar
nuestra visión de ser competitivos e innovadores
para tener acreditación internacional y
contribuir al desarrollo sostenido.”

Agosto 2010

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I. Definición:
Una ecuación diferencial lineal de segundo orden para una
función y = y(x) es una ecuación de la forma:
y’’(x) + P(x) y’(x) +Q(x)y = R(x)
Si es homogénea, la escribimos como:
y’’(x) + P(x) y’(x) + Q(x)y = 0
Ejemplos:

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I. Ecuación diferencial de segundo orden homogénea con
coeficientes constantes:
Dada la ecuación diferencial y’’(x) + p y’(x) + q y = 0
donde P(x) = p = cte y Q(x) = q = cte
Solución de la ecuación:
Haciendo y’’(x)=m2, y´(x)=m, el polinomio característico
es:
m2 + p.m + q = 0
Se pueden presentar lossiguientes casos:
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a) Raíces reales distintas:
La Solución general es:

m =m1 y m = m 2

y c1e m1x  c2e m2 x
Ejemplo: Hallar la solución general de la EDO y’’ –3y’ + 2y =
0
Solución
La ecuación característica correspondiente a esta ecuación
es: m 2 –3m + 2 = 0
cuyas raíces son m1= 2 y m2 = 1
La solución general es de la forma: y = c1e 2x + c2 e x

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b) Raíces reales iguales: m1 = m2=m
LaSolución general es:

y c1e mx  c2 xe mx
Ejemplo: Hallar la solución general de y’’ – 6y’ + 9y = 0
Solución
Ecuación característica : m 2 –6m + 9 = 0
cuyas raíces son m= 3 (de multiplicidad 2)
La solución general es: y = c1e 3x + c2 x e 3x

Profesora: Risley Rengifo

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c) Raíces complejas conjugadas: m1= a + bi y m2 = a – bi
La solución general es:

y c1e axCos (ax )  c2e bx Sen(bx )

Ejemplo:Hallar la solución general de la ecuación
diferencial y’’ – 4’y +5y = 0
Solución
Ecuación característica : m 2 –4m + 5 = 0
cuyas raíces son: m1= 2 +i y m2 = 2 – i
Solución general según lo visto sería:
y = c1e 2x cos x + c2 e 2x sen x
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II. Método de los coeficientes indeterminados
Se propone una posible solución particular con coeficientes a
determinar. El tipo de solución que proponemos depende dela expresión
de q(x) . Para poder aplicar este método q(x) debe ser de la forma:
• ek x
• un polinomio
• sen kx ó cos k x
• suma o producto de las funciones anteriores
En la siguiente tabla se muestra la solución particular Yp que se propone,
según la expresión de q(x)

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Lo anterior es válido si la solución particular Yp propuesta no es solución
de la ecuación diferencial homogénea asociada.Caso contrario, se debe
multiplicar la solución propuesta por xt donde t es el menor entero
positivo tal que xtyp no sea solución de la ecuación homogénea asociada
(en nuestro caso tendremos que multiplicar por x ó por x2 ).
EJEMPLO: Resolver

x (t )  2 x (t )  2 x (t ) e  t cos t
solución
1°) Resolver:

x (t )  2 x (t )  2 x (t ) 0

La ecuación característica será:

 2  22  4 12
m  2m  2 0  m 
 1 i
2
 xg C1e tcost C2e tsent
2

2°) Ahora nos toca hallar la solución particular del problema no
homogéneo.
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La forma general de Xp es:
x (t )  Ate  t cos t  Bte  t sent
x (t )  Ae  t cos t  Ate  t cos t  Ate  t sent  Be  t sent  Bte  t sent  Bte  t cos t
x (t )  Ae  t cos t  Ae  t sent  Ae  t cos t  Ate  t cos t  Ate  t sent  Ae  tsent  Ate  t sent 
 Ate  t cos t  Be  t sent  Be  t cos t  Be  t sent  Bte  t sent  Bte  t cos t  Be  t cos t 
 Bte  t cos t  Bte  t sent 
 2 Ae  t cos t  2 Ae  t sent  2 Ate  t sent  2Be  t sent  2Be  t cos t  2Bte  t cos t

Reemplazando en la EDO del enunciado y obtenemos:
x   2 x  2 x  2 Ae  t cos t  2 Ae  t sen t  2 Ate  t sen t  2 Be  t sen t 2 Be  t cos t  2 Bte  t cos t 
 2 Ae  t cos t  2 Ate  t cos t  2 Ate t sen t  2 Be  t sen t  2 Bte  t sen t  2 Bte  t cos t  2 Ate t cos t 

 2 Bte  t sen t  2 Ae  t sen t  2 Be  t cos t

igualando con la
función excitación




e  t cos t  A 0, B 

1
2

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Luego:

x(t )  12 e  t t sen t

Finalmente la solución es:
X(t)=Xg+Xp

X (t ) C 1e  t cos t  C 2e...