Sesion

SEMANA 1
CURSO: MATEMÁTICA III
Tema

:

Funciones de varias variables
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Las funciones de dos variables se pueden visualizar por medio de curvas de nivel, que
enlazan puntos donde la función toma un valor determinado. La presión atmosférica a
una hora dada es una función de longitud y latitud y se mide en milibaras. Aquí las
curvas de nivel se llamanisobaras y las que se presentan unen puntos que tenían la
misma presión. Las curvas marcadas 1028, por ejemplo, conectan puntos con presión de
1028mb)

EJEMPLOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
En muchos casos, encontramos funciones que dependen de dos variables.
1. El volumen de un cilindro circular recto está dada por la siguiente formula

 . r 2 .h donde h es su altura y r es el radio de labase circular, es decir para
determinar el volumen de un cilindro debemos conocer los valores de su altura y
radio, por eso podemos decir que el volumen de un cilindro depende de los valores
de su altura y radio. En otras palabras podemos expresar el volumen del cilindro

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como una función de dos variables h y r , a las cuales llamaremos variablesindependientes. Dicha función puede quedar representada como V (r , h)   . r 2 . h .

2. Para determinar el área de un rectángulo es necesario conocer su largo ( l ) y ancho
( a ) , es decir el área del rectángulo depende del largo y ancho. Es decir podemos

representar el área de un rectángulo mediante la siguiente función A(l , a)  l . a
3. Dados dos números cualesquiera, x e y su mediaaritmética es el número
intermedio entre ambos, es decir:

x y
2
, x n , su media aritmética es el número:

En general, dados n números x1 , x 2 ,

M ( x1 , x 2 ,

, xn ) 

x1  x 2 

 xn

n

La media aritmética es, pues, una función M ( x1 , x 2 ,

, x n ) de n variables.

4. Dados dos números positivos x e y , su media geométrica es :

g ( x, y)  x y .
En general,dados n números positivos x1 , x 2 ,
define como:

G ( x1 , x 2 ,

, x n )  x1 x 2 

, x n , su media geométrica se

 x n  ( x1 x 2

1

xn )n .

5. Supongamos que tenemos una placa metálica de grandes dimensiones. La
temperatura(en grados centígrados) de placa es función de las coordenadas década
uno de sus puntos y viene dada por (Figura 1):

T ( x, y)  500  0.6x2 1.5 y 26. La media de tiempo que un cliente espera en una cola para ser atendido viene dada
por :

g ( x, y) 

1
, y  x,
x y

donde y es la razón media de llegada, expresada como el número de clientes por
unidad de tiempo y x es la razón media de servicio, expresada en las mismas

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unidades. (Figura 2)

Figura 1

Figura 2

Empezaremos nuestroestudio con las funciones de dos variables.

Definición Una función f de dos variables es una regla de correspondencia que
asigna a cada par ordenado de números reales ( x , y ) de un conjunto D un número real
único que se denota por f ( x , y ) . El conjunto D es el dominio de f y su rango es el
conjunto de valores que toma f , es decir,

 f (x , y )

( x, y) D .

A menudo, se escribez  f ( x , y ) para hacer explícito el valor que toma f en el punto
( x , y ) . Las variables x e y son variables independientes y z es la variable dependiente

GRÁFICAS
Un modo de representar el comportamiento de una función de dos variables es
considerar su gráfica.

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Definición Si f es una función de dos variables con dominio D, entonces la gráficade f es el conjunto de todos los puntos ( x , y, z ) en R 3 tal que z  f ( x , y ) y
( x , y ) está en D.

( x , y, 0 )

A continuación se ilustran algunas funciones de varias variables hechas por computador
con sus respectivos dominios.
f

Figura

f ( x, y)  1  ( x2  y 2 )

f

Figura

f ( x, y)  1  ( x 2  y 2 )  x 2  y 2

Las gráficas presentadas a continuación...