Sesion08

MATEMATICA IV

Regla de la Cadena

Denominada también derivada de una función compuesta.
Teorema:
u  f ( x, y)

Sea f : D  R2  R una función diferenciable, definida por
y x  h(r, s) y y  g (r,s) , y existen las derivadas parciales

u u  x  x  y  y
;
,
,
,
,
,
 x  y r s r s

compuesta

Entonces las derivadas parciales de la

u  f ( x(r , s), y(r , s))

función

se puedencalcular mediante:

u u  x u  y


r x r y r
u u  x u  y


s x s y s

Caso Particular:
Si z  f ( x, y) , donde x  x(t ) ; y  y(t ) , entonces la derivada total de z respecto
de x sepuede calcular: aplicando la siguiente fórmula:

dz z dx z dy


dt x dt y dt

Lic. Ysela Mariell Alva Ventura

MATEMATICA IV

Ejemplo:
Si

donde

y

. Determine

cuando

Solución
La regla dela cadena da
(

)(

)

(

)(

No es necesario escribir las expresiones para
Simplemente observe que cuando
tiene
.

)

en términos de .
y

Por lo tanto
(

)(

)

(

)(

)

Ejemplo:
La presión enKilopascales, el volumen , en litros y la temperatura , en
kelvin, de un mol de un gas ideal, están relacionados mediante la ecuación
. Determine la razón a la cual la presión cambia cuando la
temperaturaes de 300 K y se incrementa a razón de 0.1 K/s y el volumen es
de 100 L y se incrementa a razón de 0.2 L/s.
Solución
Si
representa el tiempo que transcurre en segundos, entonces en el
instante dadoT=300
, V=100

,

Lic. Ysela Mariell Alva Ventura

MATEMATICA IV

Puesto que

con la regla de la cadena

(

)

(

)

(

)

La presión disminuye a razón de casi

.

Ejemplo:
Dada la función z=2xy dondex  s2  t 2

;

y

s
t

; hallar

Solución
Como

z
z
x
x
y 1 y
s
 2 y;
 2 x;
 2s
 2t;
 ;
 2
x
y
s
t
 s t t
t

entonces se tiene
z z x z y
1
2 x 2(3s 2  t 2 )


 (2 y)(2s) (2 x)  4 ys 

s x s  y s
t
t
t
z z x z y
s
2 xs 2st 2  2s 3


 (2 y)(2t )  (2 x)( 2 )  4 yt  2 
t  x t  y t
t
t
t2

Lic. Ysela Mariell Alva Ventura

z z
;
 s t...