Señales y Sistemas Pasabanda

Señales y Sistemas Pasa Banda

27/02/2007

René Játiva Espinoza

La Transformada de Hilbert:
Propiedades
• Se dice que las dos siguientes funciones constituyen un
par de Hilbert si se cumple que:
∞
∞
ˆ
1 g (τ )
1 g (τ )
ˆ
g (t ) = ∫
dτ ; g ( t ) = − ∫
dτ
π −∞ t − τ
π −∞ t − τ
ˆ
g (t ) = g (t ) ∗

1
πt

⎧1, f > 0
1 ⎯⎯
→ − j sgn ( f ) ; sgn ( f ) = ⎪0, f = 0
⎨
←⎯
⎯πt
⎪
⎩−1, f < 0
ˆ
G ( f ) = − j sgn ( f ) G ( f )
27/02/2007

René Játiva Espinoza

La transformada de
Hilbert de g(t)
puede expresarse
d
como una
convolución:

La Transformada de Hilbert:
Propiedades
I.
II.
III.
III

Las funciones g(t) y su transformada de Hilbert tienen
el mismo espectro de amplitud.
Si g1(t) es la transformada de Hilbert de g(t) entonces
latransformada de Hilbert de g1(t) es –g(t)
Una señal g(t) y su transformada de Hilbert son
ortogonales. Para la demostración recuerde que para
funciones reales se cumple que G(-f)=G*(f).
∞

∫

−∞
27/02/2007

ˆ
g ( t ) g ( t ) dt = 0;

Producto escalar es
cero.

René Játiva Espinoza

La Transformada de Hilbert:
Aplicaciones Relevantes
• Permite el estudio de sistemas que utilizanesquemas de modulación de banda lateral única
(SSB).
(SSB)
• Provee bases matemáticas para la representación
de señales pasa banda.
• Observación: La Transformada de Hilbert opera
exclusivamente en el dominio del tiempo, y
permite el análisis de señales utilizando el método
de selectividad en fase. En este caso desplazando
la fase de todas las componentes frecuenciales en
±90
±90º.27/02/2007

René Játiva Espinoza

Ruido B d A
R d en Banda Angosta
• Muchas señales en comunicaciones pasan a través de un
filtro de banda angosta centrado alrededor de una
frecuencia de interés fc, de forma que l componentes de
f
i d i
é f d f
las
d
interés pasen esencialmente sin distorsión y que el ruido
q
que se introduce en el receptor no sea excesivo.
p
• Sea w(t) ruido blancoGaussiano de media cero y densidad
espectral unitaria, introducido a la entrada del filtro de
banda angosta y n(t) su salida. n(t) puede representarse en
salida
función de sus componentes en cuadratura, nI y nQ de la
siguiente manera:
27/02/2007

René Játiva Espinoza

Ruido B d A
R d en Banda Angosta
• Note que el sombrero sobre n(t) implica que se ha
efectuado la transformación deHilbert sobre n(t). Puede
demostrarse entonces que n ( t ) , nI(t) y nQ(t) toman las
ˆ
expresiones siguientes:
ˆ
n (t )
n ( t ) = nI ( t ) cos ( 2π f c t ) − nQ ( t ) sin ( 2π f c t )
ˆ
n ( t ) = nI ( t ) sin ( 2π f c t ) + nQ ( t ) cos ( 2π f c t )
ˆ
nI ( t ) = n ( t ) cos ( 2π f c t ) + n ( t ) sin ( 2π f c t )
ˆ
nQ ( t ) = n ( t ) cos ( 2π f c t ) − n ( t ) sin ( 2π f c t )
n (τ )
ˆn (t ) = ∫
dτ
π −∞ t − τ
1

27/02/2007

∞

René Játiva Espinoza

Espectros de señales en Banda Base
Espectro de la señal MQ(f)
Espectro de la señal MI(f)

1

1

0.9

0.8

0.8

0.7

0.6

X(f)

X(f)

0.6

0.5

0.4

0.4

0.3

0.2

0.2

0
-25 -20
25 20

-10
10

0
Frecuencia

10

20

25

0
-25

-20

-15

-10

-5

5
0Frecuencia
F
i

10

15

20

25

Espectros de señales en banda base que se usarán para
modular sinusoides en cuadratura
d l i
id
d t
27/02/2007

René Játiva Espinoza

Espectros de señal en Banda
Angosta
Espectro de una señal en banda angosta

Espectro de Amplitud de una señal en banda angosta
0.8

0.5

0.7
0.6

0.3
0.5

|S(f)|

Real X(f)

0.4
04

0.2

0.4

0.10.3
03

0
-40

0.2

-20
0.1

0

0.5
20

Frecuencia

0
40

-0.5

0
-40

-30

-20

-10

0

Frecuencia

10

20

30

Imag X(f)

Note como las dos señales originales se desplazan en
frecuencia y se suman en cuadratura para formar el
espectro final en banda angosta
27/02/2007

René Játiva Espinoza

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Ruido en Banda Angosta:
Propiedades
I....