Señor
Páginas: 15 (3522 palabras)
Publicado: 31 de julio de 2012
D e r i va d a
D e r i va d a e n u n p u n to
La de rivada de una fun c ión f(x) en u n pun to x = a es el v alo r de l límite, si ex iste, de l coci ente inc re me ntal cua ndo e l increm ent o de l a vari able tien de a cero.
Ejem pl os
Ca lc ular la derivada de la fun c ión f(x) = 3x 2 en e l p unt o x = 2.
Ha llar la derivada de la fun c ión f(x) = x2 + 4x í 5 e n x = 1.
Calc ular la derivada de
en x = í 5.
Ha llar la derivada de
en x = 1.
Determ inar la deriv ada de
en x = 2.
Ca lc ula e l va lor de la deriv ada
en x = 2.
Ha llar la derivada de
en x = 3.
D e r i va d a s l a te r al e s
De ri va da por la i zquie rda
De ri va da por la derecha
Una función es deri vabl e en un p unto si, y sólo s i, es der ivab le por la izquierda y po r la dere ch a en dich o p un to y las de rivadas late ral es coinciden.
Ejem pl o
Estud iar e l va lo r de la de riv ada de
en x = 0
Como
no
co inc iden
las
deriv adas
l at erales
la
fun c ión
no
t iene
derivad a en x = 0.
I n t e r p re ta c i ón de la de r i va d a
I n t e r p re ta c i ón ge om é tr i c a d e l a d e r i va d a
Cuando
h
tie nde
a
0,
el punto Q
tie nde
a c on fund ir se
con el
P.
Ento nce s la recta s ecante tiende a ser la recta t an gente a la fun c ió n f(x) e n P, y p or ta nto el án gulo ti en de a ser .
La pe ndi ent e de la ta ngente a l a c urv a e n un p unt o es ig ua l a la de riv ada de la fu nc ió n e n e se p unt o.
mt = f'(a)
Ejem pl os
Dada f(x) =x2, ca lcu lar los p unt os e n lo s que la re cta ta ngente es paralela a la b ise ctr iz de l pr ime r c uadr ante.
La e cua c ión de la b ise ctr iz de l p rimer c uadr ante es y = x, por tant o su pe nd iente es m= 1.
Co mo las do s recta s so n para lelas tendr án la misma pe ndiente, as que:
f'(a) = 1.
Dado
que
la
pendiente
de
la
tangente
a
la
curvaes
igua l
a
la
derivad a en e l p unt o x = a.
Dada la c urva de ecu ac ió n f(x) = 2x2 í 3x í 1, ha lla las co orde nada s de los pu nto s de d ich a curva en los qu e la tangente form a c on e l ej e OX u n ángu lo de 45 °.
Determ inar los va lore s de l p ará metro b, pa ra qué las t ange ntes a la curva de la fu nc ió n f(x) = b2x3 + bx2 + 3x + 9 e n lo s p unt os d eab sc is as x = 1, x = 2 sean para le la s.
Para qu e sea n para le la s se t iene q ue c ump lir que las der ivada s en x = 1 y x = 2 sea n igu ales.
f'( 1) = f'(2)
f'(x) = 3b2x2 + 2bx + 3
f'( 1) = 3b2 + 2b + 3
f'( 2) = 12b2 + 4b + 3
3b2 + 2b + 3 = 12b2 + 4b + 3
9b2 + 2b = 0
I n t e r p re ta c i ón fí s i ca de la d er i vad a
V e l oc i d a d me d i a
La v eloci dad me dia e s e l c oc ient e entre e l espacio reco rrido ( y el tiem po t ranscurri do ( t).
¡
b = 0b =
2/9
e)
V e l oc i d a d i n s ta n t á n e a
La ve loci dad inst ant áne a e s el l m ite de la velo c idad me dia cu ando t tien de a cer o, e s de c ir, la deriv ada del e spaci o res pecto al tie mpo.
¢
Ejem pl o
La relac ió n e ntre la d ista nc ia rec orr ida enmetro s p or un móv il y e l tiemp o e n segu ndo s e s e(t) = 6t2. Ca lcu lar:
1 la ve loc idad med ia entre t = 1 y t = 4.
La ve loc idad med ia es e l c oc ie nte in creme nt al en e l interva lo [1, 4].
2 La ve loc idad insta ntáne a e n t = 1.
La ve loc idad insta ntá nea e s la der ivada en t = 1.
se m ide en metr os y e l t ie mpo en seg undo s.
£
ecuación e(t) = 2
3t2e n el q u into segu n do de s u rec orr ido ? E l esp ac io
£
¿Cuál
es
la
ve lo cid ad
que
lleva
un
veh culo
se
mueve
según
la
Una pob lac ión ba cter iana t ien e un c rec im iento dad o por la func ión p(t) = 50 00 + 1 0 00t² , s ie ndo t e l t iem po m etido en h oras. Se pide :
1. La ve loc idad med ia de crec im ie nto.
2. La ve loc idad...
D e r i va d a e n u n p u n to
La de rivada de una fun c ión f(x) en u n pun to x = a es el v alo r de l límite, si ex iste, de l coci ente inc re me ntal cua ndo e l increm ent o de l a vari able tien de a cero.
Ejem pl os
Ca lc ular la derivada de la fun c ión f(x) = 3x 2 en e l p unt o x = 2.
Ha llar la derivada de la fun c ión f(x) = x2 + 4x í 5 e n x = 1.
Calc ular la derivada de
en x = í 5.
Ha llar la derivada de
en x = 1.
Determ inar la deriv ada de
en x = 2.
Ca lc ula e l va lor de la deriv ada
en x = 2.
Ha llar la derivada de
en x = 3.
D e r i va d a s l a te r al e s
De ri va da por la i zquie rda
De ri va da por la derecha
Una función es deri vabl e en un p unto si, y sólo s i, es der ivab le por la izquierda y po r la dere ch a en dich o p un to y las de rivadas late ral es coinciden.
Ejem pl o
Estud iar e l va lo r de la de riv ada de
en x = 0
Como
no
co inc iden
las
deriv adas
l at erales
la
fun c ión
no
t iene
derivad a en x = 0.
I n t e r p re ta c i ón de la de r i va d a
I n t e r p re ta c i ón ge om é tr i c a d e l a d e r i va d a
Cuando
h
tie nde
a
0,
el punto Q
tie nde
a c on fund ir se
con el
P.
Ento nce s la recta s ecante tiende a ser la recta t an gente a la fun c ió n f(x) e n P, y p or ta nto el án gulo ti en de a ser .
La pe ndi ent e de la ta ngente a l a c urv a e n un p unt o es ig ua l a la de riv ada de la fu nc ió n e n e se p unt o.
mt = f'(a)
Ejem pl os
Dada f(x) =x2, ca lcu lar los p unt os e n lo s que la re cta ta ngente es paralela a la b ise ctr iz de l pr ime r c uadr ante.
La e cua c ión de la b ise ctr iz de l p rimer c uadr ante es y = x, por tant o su pe nd iente es m= 1.
Co mo las do s recta s so n para lelas tendr án la misma pe ndiente, as que:
f'(a) = 1.
Dado
que
la
pendiente
de
la
tangente
a
la
curvaes
igua l
a
la
derivad a en e l p unt o x = a.
Dada la c urva de ecu ac ió n f(x) = 2x2 í 3x í 1, ha lla las co orde nada s de los pu nto s de d ich a curva en los qu e la tangente form a c on e l ej e OX u n ángu lo de 45 °.
Determ inar los va lore s de l p ará metro b, pa ra qué las t ange ntes a la curva de la fu nc ió n f(x) = b2x3 + bx2 + 3x + 9 e n lo s p unt os d eab sc is as x = 1, x = 2 sean para le la s.
Para qu e sea n para le la s se t iene q ue c ump lir que las der ivada s en x = 1 y x = 2 sea n igu ales.
f'( 1) = f'(2)
f'(x) = 3b2x2 + 2bx + 3
f'( 1) = 3b2 + 2b + 3
f'( 2) = 12b2 + 4b + 3
3b2 + 2b + 3 = 12b2 + 4b + 3
9b2 + 2b = 0
I n t e r p re ta c i ón fí s i ca de la d er i vad a
V e l oc i d a d me d i a
La v eloci dad me dia e s e l c oc ient e entre e l espacio reco rrido ( y el tiem po t ranscurri do ( t).
¡
b = 0b =
2/9
e)
V e l oc i d a d i n s ta n t á n e a
La ve loci dad inst ant áne a e s el l m ite de la velo c idad me dia cu ando t tien de a cer o, e s de c ir, la deriv ada del e spaci o res pecto al tie mpo.
¢
Ejem pl o
La relac ió n e ntre la d ista nc ia rec orr ida enmetro s p or un móv il y e l tiemp o e n segu ndo s e s e(t) = 6t2. Ca lcu lar:
1 la ve loc idad med ia entre t = 1 y t = 4.
La ve loc idad med ia es e l c oc ie nte in creme nt al en e l interva lo [1, 4].
2 La ve loc idad insta ntáne a e n t = 1.
La ve loc idad insta ntá nea e s la der ivada en t = 1.
se m ide en metr os y e l t ie mpo en seg undo s.
£
ecuación e(t) = 2
3t2e n el q u into segu n do de s u rec orr ido ? E l esp ac io
£
¿Cuál
es
la
ve lo cid ad
que
lleva
un
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mueve
según
la
Una pob lac ión ba cter iana t ien e un c rec im iento dad o por la func ión p(t) = 50 00 + 1 0 00t² , s ie ndo t e l t iem po m etido en h oras. Se pide :
1. La ve loc idad med ia de crec im ie nto.
2. La ve loc idad...
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