Señor

1. Sean G un grupo, H un grupo abeliano y ' : G ! H un mor…smo de
grupos. Si K H es un sugbrupo de H , mostrar que ' 1 (K ) es un subgrupo
normal de G, siendo:
'

1

(K ) = fg 2 G: ' (g ) 2 K g

2. Sea G el grupo de matrices inversible de 2 2 con coe…cientes reales.
Mostrar dos subgrupos normales de G que sean distintos de G y del subgrupo
trivial (es decir,el subgrupo formado sólo por el elemento neutro).
3. Sea Sn el grupo de biyecciones del conjunto In = f1; 2; : : : ; ng. Sn actúa
en el producto cartesiano In In como se indica acontinuación:
(i; j ) = ( (i) ; (j ))

(i; j ) 2 In

In ,

2 Sn

Determinar el número de órbitas de Sn en In In .
4. Mostrar que las transformaciones a…nes del plano forman un grupocon
la composición de funciones. Estas transformaciones tienen la forma:
f (x; y ) = (ax + by + c; mx + ny + p)
5. ¿De cuántas maneras se puede diseñar un vitreaux como el de la …gura,usando 2 colores para pintar los triángulos que lo componen? Se consideran
iguales dos diseños si uno se puede hacer coincidir con el otro mediante un
movimiento en el espacio.

6.Hallar la suma de los ángulos marcados en la poligonal sabiendo que las
rectas m y l son paralelas

1

7. Los tres vértices de un triángulo equilátero en el plano, tienen porproyección ortogonal sobre la recta l, en el mismo plano, a los puntos que se destacan
en la …gura separados por 1 y 2 centimetros:

Hallar el área del triángulo.
8. Mostra que cualquiertriángulo puede ser descompuesto en en triángulos
isósceles con a lo sumo 3 cortes lineales.
9. Indicar como construiría con regla y compás un polígono regular de 15
lados.
10. Si para unnúmero natural n se puede construir con regla y compás la
tangente de 2n ¿Se podrá construir con regla y compás un polígono regular de
2n lados? Justi…que la respuesta.

2