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Tema 4

El circuito transformado

1.- Introducción.
2.- Transformada de Laplace. Propiedades fundamentales.
3.- Transformada inversa.
4.- Impedancia y admitancia complejas
5.- Análisis de un circuito en el dominio s.
6.- Funciones de transferencia de un circuito.
7.- Síntesis de funciones de transferencia.

Curso 2006/07. 2º de I. T. Industrial, esp. Electrónica

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1.-Introducción.
• Se va a describir una nueva técnica parea resolver circuitos transitorios.
• Esta técnica, denominada transformada de Laplace, se puede aplicar para

circuitos transitorios con cualquier topología y con fuentes de potencia de diferentes
formas de onda.
• Se va aplicar la Transformada de Laplace directamente al circuito en el dominio
de t para obtener el circuito transformado en eldominio de Laplace, que se puede
resolver con ecuaciones algebraicas.
• Para obtener la solución en el tiempo, se aplica la transformada inversa.

• Se va a definir la función de transferencia, que relaciona la salida con la entrada

en el dominio de Laplace, cuando las condiciones iniciales son nulas.

• La función de transferencia permite conocer la salida del circuito a cualquierentrada cuando se conoce la salida para una entrada de referencia. Permite
también sintetizar un circuito con una función de transferencia dada con A.O.s

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2.- Transformada de Laplace. Propiedades fundamentales
• Transformación matemática de las ecuaciones del circuito

Circuito lineal

Ecuación
diferencial

L

Técnicasalgebráicas

Técnicas de
resolución

Solución
Dominio del tiempo

Ecuación
algebraica

L

-1

Transformada
de la solución
Dominio de s

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2.- Transformada de Laplace. Propiedades fundamentales
• Definición:

L [v(t )] = V ( s ),

s = σ + jω

∞

V ( s ) = ∫ − v(t )e − st dt

σ → constante de atenuación
ω →atenuación

0

Algunas transformadas:
∞

- Función escalón
- Función exponencial
- Función impulso

∞

1
V ( s ) = ∫ u (t )e dt = ∫ e dt =
0
0
s
∞
− ( s + a )t
∞
−
e
1
− at − st
=
V ( s ) = ∫ e e dt =
0
s+a 0 s+a
− st

− st

∞

0+

0+

0

0

0

V ( s ) = ∫ − δ (t )e − st dt = ∫ − δ (t )e − st dt = ∫ − δ (t )dt = 1
La exponencial toma el
valor 1
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2.- Transformada de Laplace. Propiedades fundamentales
∞

V (s) = ∫ −

- Función seno

0

• Propiedades:

β
sen(βt )e dt = 2
s +β2
− st

Propiedad de linealidad

v1 (t ) → V1 ( s ),

v2 (t ) → V2 ( s ),

A, B ctes

L [ Av1 (t ) + Bv2 (t )] = ∫ [Av1 (t ) + Bv2 (t )]e − st dt =
∞

0

∞

∞

A∫ v1 (t )e dt + B ∫v2 (t )e − st dt = AV1 ( s ) + BV2 ( s )
− st

0

0

- Ejemplo: función subida exponencial

[

]

[

]

L u (t )(1 − e − at ) = L [u (t )] − L u (t )e − at =
1
1
a
−
=
s s + a s ( s + a)
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2.- Transformada de Laplace. Propiedades fundamentales
Propiedad de integración
t
∞
t
V (s)
− st




L ∫ v(t)dt = ∫ ∫ v(t )dt e dt =
 0
 0  0

s

Se integra por partes

- Ejemplo: función rampa
t

v(t ) = t ⋅ u (t ) = ∫ u (t )dt
0

t
1
1


L [v(t )] = L ∫ u (t )dt = L [u (t )] = 2
 s
 0
s

Propiedad de derivación
Por partes

 dv  ∞ dv − st
L  = ∫
e dt = sV (s ) − v(0 − )
 dt  0 dt
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2.-Transformada de Laplace. Propiedades fundamentales
- Ejemplo: función coseno

1 d
s

L [cos( βt )] = L  sen( βt ) = 2
2
β  dt
s
+
β

Otras propiedades:

 d 2 v  ∞ d 2 v − st
2
−
−
(
)
L 2  = ∫
e
dt
=
s
V
s
−
sv
(
0
)
−
v
'
(
0
)
2
 dt  0 dt

L [v(t − t0 )] = ∫ v(t − t0 )e − st dt = e −t0 sV (s )
∞

0

Propiedad de la
derivada segunda...