señorita

Fourier y sus coeficientes

Antonio Cañada Villar
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de Granada

Bol. Soc. Esp. Mat. Apl. no 36(2006), 125–148

Fourier y sus coeficientes
˜
A. Canada

1

Departamento de An´lisis Matem´tico, Universidad de Granada
a
a
acanada@ugr.es
1

Introducci´n
o

Cuando se hace alguna consulta hist´rica sobre los llamados m´todos de Fouriero
e
y su influencia en la historia de la Matem´tica, un aspecto com´n suele ser el
a
u
comentario que se refiere al procedimiento usado por Fourier en el c´lculo de
a
los coeficientes del desarrollo considerado. Es m´s o menos, as´
a
ı:
Para calcular los coeficientes, Fourier
us´ el desarrollo en serie de poteno
cias de la funci´n dada y de las funo
ciones trigonom´tricas consideradas.e
Reorden´ estos desarrollos con objeo
to de igualar los t´rminos que mule
tiplican a las respectivas potencias y
lleg´ a un sistema lineal de infinitas
o
ecuaciones con infinitas inc´gnitas.
o
Entonces consider´ un sistema lineal
o
finito con m ecuaciones y m inc´gnio
tas (sistema formado con las primeras m filas y las primeras m columnas
del sistema infinito original). Resolvi´ estesistema finito e hizo tender
o
m a ∞. Despu´s de un an´lisis
e
a
Jean Baptiste J.Fourier (1768-1830)
largo y complicado, alcanz´ su c´lebre f´rmula para los coeficientes.
o
e
o
Cuando se me propuso realizar esta colaboraci´n para el bolet´ de SeMA,
o
ın
pens´ que podr´ tener inter´s transcribir a nuestros d´ algunos de los
e
ıa
e
ıas
razonamientos originales de Fourier. En nuestroDepartamento tenemos una
copia de una edici´n que Dover llev´ a cabo en 1955 ([16]) sobre la versi´n
o
o
o
inglesa de 1878 del libro original de Fourier (publicado en franc´s en 1822). Me
e
puse manos a la obra (y he de confesar que ya lo hab´ intentado varias veces,
ıa
pero no hab´ perseverado lo suficiente). Lo pas´ mal (porque muchos de los
ıa
e
razonamientos que hace Fourier sonrealmente dif´
ıciles de entender para m´ y
ı
porque la notaci´n que usa es muy complicada para nosotros) y bien (cuando
o
despu´s de algunas horas de trabajo, consegu´ entenderlos). El resultado final es
e
ı
muy positivo. Por una parte tienes ocasi´n de comparar lo que entendemos hoy
o
125

˜
A. Canada

126

en d´ por rigor matem´tico con el rigor de la ´poca de Fourier. Por otra, te dasıa
a
e
cuenta de que leer escritos originales de grandes matem´ticos es muy formativo
a
y al mismo tiempo placentero. No se daban por vencidos, desarrollaban unas
tremendas dosis de ingenio para conseguir su objetivo y cuando, al final, haces
balance de lo que has aprendido intentando entender lo que all´ hay escrito, te
ı
das cuenta de que ´sa es una parte fundamental de la aut´nticaMatem´tica, una
e
e
a
parte que a´na conceptos, resultados profundos, etc. con sus or´
u
ıgenes hist´ricos.
o
En las notas que aparecen a continuaci´n, en la secci´n tercera intento trasladar
o
o
a nuestros d´ algunas de las ideas de Fourier. En la mayor´ de las ocasiones
ıas
ıa
hay que prescindir del rigor en los razonamientos, tal y como lo entendemos
hoy en d´ Es tambi´ninevitable, aunque sea muy someramente, escribir algo
ıa.
e
sobre el origen de los m´todos de Fourier (secci´n segunda) y la influencia que
e
o
las ideas de Fourier han tenido en la historia de la Matem´tica (secci´n cuarta).
a
o

2

El origen de las series de Fourier: las ecuaciones de
ondas y del calor

Uno de los problemas m´s interesantes del que se ocuparon los cient´
a
ıficos del
sigloXVIII (y que posteriormente motiv´ el estudio de muchos otros similares)
o
fue el problema de la cuerda vibrante. Si tomamos como referencia el estupendo
texto de M. Kline ([25]), el primer matem´tico que elabor´ un modelo apropiado
a
o
para estudiar este problema fue Jean Le Rond d’Alembert en 1747 (para esta
breve secci´n puede consultarse el texto citado para documentarse de manera
o...