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FACULTAD : Ingeniería de Sistemas

CURSO : Teoría de Decisiones

TEMA : Probabilidad Total- Teorema de bayes


PROFESOR : BENITES RODRIGUEZ, Leónidas Rimer


ALUMNOS :
Torres Pérez Jesica del Pilar













EJERCICOS DE PROBABILIDADES: TEOREMA DE BAYES
1) Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?

SOLUCION:
Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra". En el diagrama de árbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas.
La probabilidadpedida es P(A/R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:
P(A/R)=
=45/173=0.260


2) Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.
a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.
b. Tomamos, al azar,una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B.
c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?
Solución:
Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". La información del problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto.
a. Para calcular la probabilidad de que lapieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total,
P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) =
= 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038

b. Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,
P(B/D)=

c. Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:
P(A/D)=P(C/D)=
La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A
















4) Una empresa recibe visitantes en sus instalaciones y los hospeda en cualquiera de tres hoteles de la ciudad; Palacio del Sol, Sicomoros o Fiesta Inn, en una proporción de 18.5%, 32% y 49.5% respectivamente, de los cuales se ha tenido información de que se les ha dado un malservicio en un 2.8%, 1% y 4% respectivamente, a. Si se selecciona a un visitante al azar ¿cuál es la probabilidad de que no se le haya dado un mal servicio?,b. Si se selecciona a un visitante al azar y se encuentra que el no se quejó del servicio prestado, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en el Palacio del Sol?, c. Si el visitante seleccionado se quejó del servicio prestado, ¿cuál es laprobabilidad de que se haya hospedado en e hotel Fiesta Inn?
Solución: Haciendo uso de un diagrama de árbol;










a.       NQ = evento de que un visitante no se queje del servicio
PS = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Palacio del Sol
S = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Sicómoro
FI = evento de que un visitante hayasido hospedado en el hotel Fiesta Inn
P(NQ) = p(PS)p(NQPS) + p(S)p(NQS) + p(FI)p(NQFI) =
= 0.185*0.972 + 0.32*0.99 + 0.495*0.96
= 0.17982 + 0.3168 + 0.4752
= 0.97182


b.      NQ = evento de que un visitante no se queje del servicio
PS = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Palaciodel Sol
S = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Sicomoro
FI = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Fiesta Inn
  P(PSNQ)=p(PSNQ)/p(NQ)
=(0.185*0.972)/(0.185*0.972+0.32*0.99+0.495*0.96)=
= 0.17982/(0.17982 + 0.3168 + 0.4752)
= 0.17982/0.97182...