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Páginas: 13 (3243 palabras)
Publicado: 2 de noviembre de 2013
EL TEOREMA DE GÖDEL
Introducción
En los cursos de matemáticas y sus distintas ramas podemos encontrarnos con teoremas y corolarios cuyas demostraciones requieren del dominio de algunas técnicas de demostración matemática. Éstas incluyen métodos como: pruebas contrapositivas, pruebas por contradicción, pruebas por inducción.
Pero también, en algunas ocasiones, se encuentran resultadosmatemáticos cuya demostración no puede ser probada a partir de los axiomas y resultados previamente establecidos como ciertos, por ejemplo tomemos la siguiente conjetura
Conjetura de Goldbach:
Cualquier entero par positivo mayor que 2 es la suma de dos números primos no necesariamente distintos:
Ejemplos de esto puede ser los siguientes:
4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 5 + 3; 10 = 5 + 5;460 = 341 + 59, etc.
¿Podemos continuar expresando todos los números enteros como la suma de dos primos?
La respuesta aún no se conoce a pesar de trabajos extensos de muchos matemáticos. La conjetura de Goldbach es una de muchas conjeturas matemáticas cuyo valor de verdad no ha sido posible determinar.
Por supuesto, tal conjetura puede es cierta o falsa. Considerando la gran cantidad detécnicas de demostración, parecería lógico pensar que eventualmente alguien podría desarrollar una prueba o bien encontrar un contraejemplo que muestre que tal conjetura es falsa.
Hasta hace poco tiempo, la actitud de muchos matemáticos ha sido el considerar que cualquier conjetura matemática podría, mediante el suficiente esfuerzo, ser resuelta de una manera u otra, sin embargo el trabajo de KurtGödel cambió esta percepción.
Para entender el trabajo de Kurt Gödel debemos primero discutir la naturaleza de los sistemas matemáticos.
Cada resultado en matemáticas ocurre en un contexto. Por ejemplo un teorema en geometría puede ser totalmente entendido cuando conocemos los términos y significados del teorema, estos términos pueden ser definidos previamente en el contexto o pueden seraceptados como términos no definidos.
Los términos no definidos son términos que son fundamentales y que no podemos describir a partir de otros términos más básicos, términos tales como “línea”, “punto”, “igual” y “entre” son términos típicos de los no definidos
Algunas veces no podemos probar un teorema sin la ayuda de teoremas previos o de axiomas (o postulados). Los axiomas son enunciadosque se aceptan como verdaderos debido fundamentalmente a que ellos no pueden ser probados a partir de resultados más básicos.
Por ejemplo, en geometría, un axioma típico es: “a través de dos puntos pasa una sola recta”
Los términos no definidos, las definiciones y los teoremas forman un sistema matemático
Ejemplo 1
Después de aceptar que “a través de dos puntos pasa una sola recta” asícomo los términos no definidos como punto, recta, etc. Podemos introducir el término “punto medio”.
El punto medio entre dos puntos dados se define como el único punto que divide el segmento de recta que une los dos puntos dados en dos partes iguales.
Adicionalmente, una vez que hemos definido términos como “triángulo rectángulo” o “hipotenusa” podemos probar teoremas como el de Pitágoras.Ejemplo 2
Uno de los axiomas de Euclides conocido como el postulado de las paralelas es:
Si l es una recta en un plano dado y P es un punto del plano que no está sobre l, entonces existe una y solo una recta que pasa por P paralela a l.
Este axioma parece razonable sin embargo aún desde hace mucho tiempo y aun en el siglo XIX existeron muchos esfuerzos, invertidos infructuosamente,para demostrar este postulado como consecuencia de los demás axiomas y definiciones.
La negación de este postulado dio como resultado la obtención de geometrías no euclidianas, con resultados “extraños” para el sistema euclidiano desarrollado hasta esas fechas.
Una de las posibilidades para la negación del postulado de las paralelas fue el siguiente postulado de las multiparalelas...
Introducción
En los cursos de matemáticas y sus distintas ramas podemos encontrarnos con teoremas y corolarios cuyas demostraciones requieren del dominio de algunas técnicas de demostración matemática. Éstas incluyen métodos como: pruebas contrapositivas, pruebas por contradicción, pruebas por inducción.
Pero también, en algunas ocasiones, se encuentran resultadosmatemáticos cuya demostración no puede ser probada a partir de los axiomas y resultados previamente establecidos como ciertos, por ejemplo tomemos la siguiente conjetura
Conjetura de Goldbach:
Cualquier entero par positivo mayor que 2 es la suma de dos números primos no necesariamente distintos:
Ejemplos de esto puede ser los siguientes:
4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 5 + 3; 10 = 5 + 5;460 = 341 + 59, etc.
¿Podemos continuar expresando todos los números enteros como la suma de dos primos?
La respuesta aún no se conoce a pesar de trabajos extensos de muchos matemáticos. La conjetura de Goldbach es una de muchas conjeturas matemáticas cuyo valor de verdad no ha sido posible determinar.
Por supuesto, tal conjetura puede es cierta o falsa. Considerando la gran cantidad detécnicas de demostración, parecería lógico pensar que eventualmente alguien podría desarrollar una prueba o bien encontrar un contraejemplo que muestre que tal conjetura es falsa.
Hasta hace poco tiempo, la actitud de muchos matemáticos ha sido el considerar que cualquier conjetura matemática podría, mediante el suficiente esfuerzo, ser resuelta de una manera u otra, sin embargo el trabajo de KurtGödel cambió esta percepción.
Para entender el trabajo de Kurt Gödel debemos primero discutir la naturaleza de los sistemas matemáticos.
Cada resultado en matemáticas ocurre en un contexto. Por ejemplo un teorema en geometría puede ser totalmente entendido cuando conocemos los términos y significados del teorema, estos términos pueden ser definidos previamente en el contexto o pueden seraceptados como términos no definidos.
Los términos no definidos son términos que son fundamentales y que no podemos describir a partir de otros términos más básicos, términos tales como “línea”, “punto”, “igual” y “entre” son términos típicos de los no definidos
Algunas veces no podemos probar un teorema sin la ayuda de teoremas previos o de axiomas (o postulados). Los axiomas son enunciadosque se aceptan como verdaderos debido fundamentalmente a que ellos no pueden ser probados a partir de resultados más básicos.
Por ejemplo, en geometría, un axioma típico es: “a través de dos puntos pasa una sola recta”
Los términos no definidos, las definiciones y los teoremas forman un sistema matemático
Ejemplo 1
Después de aceptar que “a través de dos puntos pasa una sola recta” asícomo los términos no definidos como punto, recta, etc. Podemos introducir el término “punto medio”.
El punto medio entre dos puntos dados se define como el único punto que divide el segmento de recta que une los dos puntos dados en dos partes iguales.
Adicionalmente, una vez que hemos definido términos como “triángulo rectángulo” o “hipotenusa” podemos probar teoremas como el de Pitágoras.Ejemplo 2
Uno de los axiomas de Euclides conocido como el postulado de las paralelas es:
Si l es una recta en un plano dado y P es un punto del plano que no está sobre l, entonces existe una y solo una recta que pasa por P paralela a l.
Este axioma parece razonable sin embargo aún desde hace mucho tiempo y aun en el siglo XIX existeron muchos esfuerzos, invertidos infructuosamente,para demostrar este postulado como consecuencia de los demás axiomas y definiciones.
La negación de este postulado dio como resultado la obtención de geometrías no euclidianas, con resultados “extraños” para el sistema euclidiano desarrollado hasta esas fechas.
Una de las posibilidades para la negación del postulado de las paralelas fue el siguiente postulado de las multiparalelas...
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