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Indice
Pág
Introducción ..................................................................................3
Área de una región entre dos curvas .............................................4−6
Volumen: Método de discos ..........................................................7−9
Volumen: Método de capas ........................................................10−11
Trabajo, fuerza constantey fuerza variable ..............................12−14
Presión de un fluido y fuerza de un fluido ...............................15−16
Momentos , centroides y centro de masa .................................17−23
Longitud de arco y superficies de revolución .........................24−28
Conclusión ..............................................................................29
Bibliografía............................................................................30
Introducción
Las derivadas y las integrales tienen diferentes campos de aplicación, pero en este caso en particular, nos
referiremos a los beneficios que se obtienen mediante el uso de las integrales, lo cual fue tema de la clase de
Cálculo II.
Para llevar a cabo estas aplicaciones, nos valimos del uso de dosherramientas elementales:
• Las integrales definidas y
• El Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Al tener el conocimiento necesario sobre estos dos puntos se podrá llevar a cabo cualquiera de las
aplicaciones aquí mencionadas, sumado claro, con las reglas individuales de cada caso en mención.
APLICACIONES DE
LA INTEGRAL
I Parte Área de una región entre dos curvas
Con pocas modificacionespodemos extender la aplicación de las integrales definidas para el cálculo de una
región situada por debajo de una curva, al área comprendida de un región entre dos curvas. Si, como en la
figura 1.1, las gráficas de ambas, f y g, se localizan por encima del eje x, podemos interpretar
geométricamente el área de la región entre las gráficas como el área de la región situada debajo de la
gráfica fmenos el área de la región situada debajo de la gráfica de g, como muestra la figura 7.1.

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Si bien en la figura 7.1 muestra las gráficas de f y g sobre el eje x, esto no es necesario y se puede usar el
mismo integrando [f(x) − g(x)] siempre y cuando f y g sean continuas y g(x) " f(x) en el intervalo [a, b]. Se
resume el resultado en el teorema siguiente.
Demostración: Partimos en elintervalo [a, b] en subintervalos, cada uno de
anchura x y dibujamos un rectángulo representativo de anchura x y altura f(xi) − g(xi), de donde x está en
el i−ésimo intervalo, tal como lo muestra la figura 1.3. El área de este rectángulo representativo es
Ai = (altura)(anchura) = [f(xi) − g(xi)] x
Sumando las áreas de los n rectángulo s y tomando el límite cuando
|||| ! 0 (n ! "), tenemos
n
lim" [f(xi) − g(xi)] x
n ! " i=1
Por ser f y g continuas en el intervalo [a, b], f−g también es continua en dicho intervalo y el límite existe. Por
tanto, el área A de la región dada es
n
A = lim " [f(xi) − g(xi)] x =
[f(x) − g(x)] dx
n ! " i=1
Se usan los rectángulos representativos en diferentes aplicaciones de la integral. Un rectángulo vertical (de
anchura x) implica integraciónrespecto a x, mientras un rectángulo horizontal (de anchura y) implica
integración con respecto a y.
Ejemplo 1.1
Hallar e área de la región limitada por las gráficas de y =x2 +2, y = −x, x =0 y x = 1.

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Solución: Hacemos g(x) =−x y f(x) =x2+2, entonces g(x) " f(x) para todo x en [0, 1], como muestra la figura.
Por tanto, el área del rectángulo representativo es
A = [f(x) − g(x)] x
= [(x2+ 2)− (−x)] x
A=
[f(x) − g(x)] dx
= [(x2 + 2) − (−x)]dx
= [x3/3 + x2/2 + 2x]10
= 1/3 + ½ + 2 =

Las gráficas de f(x) =x2+2 y g(x) = −x no se cortan, y los valores de a y b están dados explícitamente. Un
tipo de problema más común involucra el área de una región limitada por dos gráficas que se interceptan,
debiendo por tanto calcularse los valores de a y b.
Aplicación
El consumo total de...