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LICEO DE APLICACIÓN
DPTO. DE MATEMÁTICA

Aprendizajes esperados : Identifican y relacionan conceptos de funciones.

FUNCIONES.

2.1 DEFINICIÓN : Dados dos conjuntos A y B , si a cada elemento de A se hace corresponder un único elemento de B, se dice que la correspondencia es una función.
Esta correspondencia se denotará por :

f : A  B ( f es función de A enB )

Es decir : f : A  B es función  x A , !y B / (x,y)  f


NOTAS :

1. Si a A , el elemento de B que le corresponde a “a” bajo f se llama imagen
de “a” y se denota por f(a) .

2. Si f : A  B, A se llama dominio de f y B codominio de f , claramente
fAxB.

3. Llamaremos recorrido de f al subconjunto de B que forman los valoresque toma la función .Rec f  B . Rec f =

Ejemplo:

1. f : A  B
f(1) = a
f(2) = b
f(3) = b



De acuerdo con la definición f es una función ( aunque 2 y 3 tienen la misma imagen )


2. f : A  B
f(x) = a
f(y) = b
f(y) = c



f no es función pues “y” tiene dos imágenes b y c .


3. f :RR , definida por f(x) = x3

Es unafunción pues todo número real se asocia con un único valor que corresponde a su cubo.


2.2 DETERMINACIÓN DE DOMINIO Y RECORRIDO .
No siempre los elementos del conjunto de partida tendrán una imagen en el codominio, existen funciones que deben tener restricciones obvias, por su fórmula de definición.

Ejemplo 1 : f : RR , definida por f(x) = , f(2) = ? ?

Como se veclaramente 2 no tiene imagen pues la división por cero no existe; luego la definición correcta de la función sería :

f : R – { 2 } R tal que f(x) =


Ejemplo 2 : g(x) = + ( se consideran sólo las raíces positivas, en caso contrario no sería función )

“g” no puede estar definida fuera del intervalo comprendido entre -3 y 3 . Si esto ocurriera las imágenes serían númeroscomplejos , luego :

g : [ -3 , 3 ] R tal que g(x) = +



Del mismo modo es posible determinar el recorrido de toda función. El procedimiento no presenta ninguna dificultad, es necesario averiguar qué restricciones presenta ( división por cero , raíces negativas , etc. )

Ejemplo 1 : f(x) = , haciendo y = , y despejando “x” se tiene:x =
Luego y 0 , por lo tanto Rec f = R – { 0 }.


Ejemplo 2 : g(x) = + , despejando “x” , se tiene : x =
Luego , el recorrido de g es el intervalo [ -3 , 3 ]



2.3 IGUALDAD DE FUNCIONES.

Sean f y g dos funciones , entonces f = g , si :

i) f : A  B , g : A  B

ii) Si (x,y) f y (x, y ’ )  g se pide (x,y) = ( x,y ’ ) es decir y = y ‘ .

Luego f = g si f(x) = g(x)  x  A


Ejemplo 1 : f : RR , g : R+R

f(x) = x2 , g(x) = x2

Como f y g no tienen el mismo dominio , entonces f  g


Ejemplo 2 : f : RR , g : RR
f(x) = x + 2 , g(y) = y + 2Entonces f = g


Ejemplo 3 : f : RR , g : RR

f(x) = x – 3 , g(x) =

f y g no son iguales pues f(-3) = -6 y g(-3) no existe.




2.4 GRÁFICO DE FUNCIONES.

Sea f : A  B , como f AxB , entonces f puede graficarse en un sistema de ejes cartesiano AxB .


Ejemplo 1 : f(x) = x2

Calculando la tabla devalores correspondiente
O usando las propiedades de la función se
Tiene el siguiente gráfico en el plano RxR.




Ejemplo 2 : f : A  B ,

A = { a, b, c, d } , B = { 1 , 2 , 3 } tal que

f(a) = 2 , f(b) = 3 , f(c) = 1 , f(d) = 2





De ambos ejemplos podemos deducir la siguiente propiedad del gráfico de una función :
“ Cada línea vertical...