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Triángulos oblicuángulos.

Suma de ángulos

) ) )
A + B + C = 180º

Teorema del coseno
) b2 + c2 − a 2
cos A =
2·b·c
) a 2 + c2 − b2
cos B =
2·a·c
) a 2 + b2 − c2
cos C =
2·a·b

)a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
)
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B
)
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C

Teorema del seno
a

b
c
) =
) =
) = 2R
sen A sen B sen C

R≡radio de la circunferenciacircunscrita al triángulo
Área de un triángulo
Área =

) 1
)
) 1
1
ab sen C = ac sen B = bc sen A .
2
2
2

Tipos de problemas.
(a) Dados un lado y dos ángulos.
) )
DATOS: A , B y b
)INCÓGNITAS: C , a y c

Solución:
)
Por la suma de ángulos se calcula el tercer ángulo, en este caso él C
)
) )
C = 180 − A + B
Los lados se calculan mediante el teorema del seno
)
a
b
sen A
)
)=
) ⇒ a = b⋅
sen B
sen A sen B
)
c
b
sen C
) =
) ⇒ c = b⋅
)
sen B
sen C sen B
exceptuando el caso de dos ángulos obtusos, el triángulo siempre tiene solución

(

1

)

(b) Dadosdos lados y el ángulo que forman.
)
DATOS: a, b y C
) )
INCÓGNITAS: A , B y c

El lado que se desconoce se calcula mediante el teorema del coseno
)
)
c 2 = a 2 + b 2 − 2·a·b·cos C ⇒ c = a 2 +b 2 − 2·a·b·cos C

Para él calculo de uno de los ángulos desconocidos se emplea también el teorema del coseno
) b2 + c2 − a 2
)
b2 + c2 − a 2
cos A =
⇒ A = arccos
2·b·c
2·b·c
El últimoángulo se puede calcular por la suma de ángulos
) )
)
B = 180 − A + C

(

)

Para la resolución de los ángulos del triángulo se puede emplear el teorema del seno, aunque no
es muy recomendabledado que los senos de ángulos suplementarios son iguales, y esto podría llevar a
confusión.
Si aun así se desea resolver el problema por el teorema del seno, habrá que tomar la precaución
de calcularen primer lugar el ángulo opuesto al lado menor.
(c) Dados los tres lados.
DATOS: a , b y c
)
) )
INCÓGNITAS: A , B y C

El triángulo se resuelve por aplicación del teorema del coseno...