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FACULTAD DE INGENIERÍA
Carrera Profesional de Ingeniería Industrial


TEMA : UNIDAD IV ESPACIOS VECTORIALES. . GENERALES

ASIGNATURA: ALGEBRA LINEAL
ALUMNO : Alfaro Alfaro Jesús Andres.
PROFESOR : CESAR VILLA MOROCHO

SEMESTRE 2014 – I



UNIDAD IV: ESPACIOS VECTORIALESGENERALES
Ejercicio 1
1.- El conjunto de todas las ternas de números reales (x, y, z) con las operaciones.
(x, y, z) + (x´, y´, z´) = (x + x´, y + y´, z + z´) y k (x, y, z) = (kx, y, z)
+ = ……… ()

X, y, z/ ax + by + cz = 0
X’, y’, z’/ ax’ + by’ + cz’ = 0
En ():

(ax + ax’) + (by + by’) + (cz + cz’) = 0
a( x + x’) + b(y + y’) + c(z + z’)= 0

Ejemplo:


Si
Si
Es un espacio vectorial



2.- El conjunto de todas las ternas de números reales (x, y, z) con las operaciones.
(x, y, z) + (x´, y´, z´) = (x + x´, y + y´, z + z´) y k (x, y, z) = (0, 0, 0)
x x` x 0 1 1 x 0 1 1 0
y y` y = 0 1 1 y = 0 1 1 = 0
z z` z0 1 1 z 0 0 0 0

Tiene infinitas soluciones
3.- El conjunto de todas las parejas de números reales (x, y) con las operaciones.
(x, y) + (x´, y´) = (x + x´, y + y´) y k (x, y) = (2kx, 2ky)
4.- El conjunto de todos los números reales x con las operaciones estándar de adición y multiplicación.
→sol:







Aqui tiene que cumplir ciertas condiciones para seraceptado como un espacio vectorial, las cuales son:
1) 0*V = 0
2) 0*U = 0
3) (-1)* U = U
4) K * (U) = 0, entonces K=0 o U=0.

Como en este caso todas estas condiciones cumplen, entonces, este es un espacio vectorial.
5.- El conjunto de todas las parejas de números reales de la forma a(x, 0) con las operaciones estándar sobre R2.
1.

Explicación:

2.
Explicación: La suma estándaren es asociativa

3.
Explicación: El (0, 0) cumple con esa propiedad

4.
Explicación: La suma estándar en R2 es conmutativa

5.
Explicación: El uno cumple con esa propiedad

6.
Explicación: Si a = (a1, a2) = (a1, 0). Entonces a’ = (-a1, 0)
6.- El conjunto de todas las parejas de números reales de la forma a(x, y) donde x ≥ 0, con las operaciones estándar sobre R2.
….
7.- Elconjunto de todas las n-adas de números reales de la forma (x, x,….., x) con las operaciones estándar sobre R”.
…..
8.- El conjunto de todas las parejas de números reales (x, y) con las operaciones.
(x, y) + (x´, y´) = (x + x´ + 1, y + y´ + 1) y k(x, y) = (kx, ky)
……
9.- El conjunto de todas las matrices 2 x 2 de la forma.

Con la adición y la multiplicación escalar de matrices.
…….
10.- Elconjunto de todas las matrices 2 x 2 de la forma.



Con la adición de matrices y multiplicación escalar
Sea V un espacio vectorial y U un subconjunto de V. U es un subespacio vectorial si:

i) Para todo u, v ɛ U se cumple u + v ɛ U
ii) Para todo k ɛ K se cumple ku ɛ U

Entonces,



Hallando: c = a + a’ y d = b + b’ se ve que es una matriz de la forma de la matrices de U.

Y lamultiplicación por un escalar también nos da una matriz de ese tipo.

Luego ese subconjunto de las matrices 2x2 es un subespacio vectorial de todas las matrices 2x2. Y por lo tanto, es un espacio vectorial y cumple todas las propiedades.
11.- El conjunto de todas las funciones ƒ con valores reales definidas en cualquier punto de la recta real y tales que ƒ (1) = 0, con las operaciones:
(ƒ + g)(x) = ƒ (x) + g (x)
(kƒ) (x) = k ƒ (x)
CASO 1
• x1 = 0 ; x2 = -2
• x1 +x2
• 0-2 = -2 ……….. f(x) ≤ 0
CASO 2
• k = 2 ; x1 = -8
• k x1
• 2(-8) = -16 ……….. f(x) ≤ 0

 f(x) ≤ 0 es un subespacio del espacio F(-∞,∞)


CASO 1
• x =0
• x+x
• 0+0 = 0 ……….. f(0) = 0
CASO 2
• k = 5 ; x = 0
• k x
• 5(0) = 0 ……….. f(0) = 0

 f(0) = 0 es un...